【題目】已知在△ABC中，AB=BC=8cm，∠ABC=90°，點E以每秒1cm/s的速度由A向點B運動，ED⊥AC于點D，點M為EC的中點．
（1）求證：△BMD為等腰直角三角形；
（2）當點E運動多少秒時，△BMD的面積為12.5cm2？
【答案】（1）證明見解析；（2）2．
【解析】試題分析：（1）根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得BM=
CE，DM=
CE，得出BM=DM，再由等腰三角形的性質和三角形的外角性質證出∠BMD=90°即可；
（2）由等腰直角三角形的面積求出BM，得出CE，由勾股定理求出BE，得出AE，即可得出結果．
試題解析：（1）∵∠ABC=90°，DE⊥AC，點M為EC的中點，AB=BC，
∴BM=
CE=CM，DM=
CE=CM，∠BAC=∠ACB=45°，
∴BM=DM，∠MBC=∠MCB，∠MDC=∠MCD，
∵∠BME=∠MBC+∠MCB，∠DME=∠MDC+∠MCD，∠MCB+∠MCD=∠ACB=45°，
∴∠BMD=∠BME+∠DME=45°+45°=90°，
∴△BMD為等腰直角三角形；
（2）由（1）得：△BMD為等腰直角三角形，
∴△BMD的面積=
BMDM= 
BM2=12.5，解得：BM=5，
∴CE=2BM=10cm，由勾股定理得：BE= 
=6（cm），
∴AE=AB﹣BE=2cm，∴2÷1=2（s），
即當點E運動2秒時，△BMD的面積為12.5cm2．
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【題目】（
）如圖中，
，請用直尺和圓規作一條直線，把
分割成兩個等腰三角形（不寫作法，但須保留作圖痕跡）．
（
）如圖中，的三個內角分別為
，
，
，若
，
，
，在
上找一個點
，使
為等腰三角形，求出
的長（可用含
的代數式表示）．
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【題目】如圖，點P是∠AOB的角平分線OC上一點，分別連接AP、BP，若再添加一個條件即可判定△AOP≌△BPO，則一下條件中：①∠A=∠B；②∠APO=∠BPO；③∠APC=∠BPC； ④AP=BP；⑤OA=OB．其中一定正確的是 （只需填序號即可）
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【題目】如圖，將長方形ABCD沿著對角線BD折疊，使點C落在C′處，BC′交AD于點E．
（1）試判斷△BDE的形狀，并說明理由；
（2）若AB=4，AD=8，求△BDE的面積．
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【題目】若x、y是有理數，設N=3x2+2y2﹣18x+8y+35，則N（ ）
A. 一定是負數 B. 一定不是負數 C. 一定是正數 D. N的取值與x、y的取值有關
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【題目】問題背景：如圖①，在四邊形ADBC中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，探究線段AC、BC、CD之間的數量關系.
小吳同學探究此問題的思路是：將ΔBCD繞點D逆時針旋轉90°到ΔAED處，點B、C分別落在點A、E處（如圖②），易證點C、A、E在同一條直線上，并且ΔCDE是等腰直角三角形，所以CE＝
CD，從而得出結論：AC+BC＝
CD.
圖① 圖② 圖③ 圖④
簡單應用：
（1）在圖①中，若AC＝
，BC＝2
，則CD＝ .
（2）如圖③，AB是⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，弧AD＝弧BD，若AB＝13，BC＝12，求CD的長.
拓展延伸：
（3）如圖④，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，若AC＝m，BC＝n（m<n），求CD的長（用含m，n的代數式表示）.
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【題目】（10分）如圖，已知⊙O上依次有A、B、C、D四個點，
=
，連接AB、AD、BD，弦AB不經過圓心O，延長AB到E，使BE=AB，連接EC，F是EC的中點，連接BF．
（1）求證：BF=
BD；
（2）設G是BD的中點，探索：在⊙O上是否存在點P（不同于點B），使得PG=PF？并說明PB與AE的位置關系．
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【題目】如圖，正方形ABCD的邊長為3，E，F 分別是AB，BC邊上的點，且∠EDF=45°.將△DAE繞點D逆時針旋轉90°，得到△DCM.
（1）求證：EF=FM；
（2）當AE=1時，求EF的長.
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