Question

（2011•慶陽）如圖，在等腰△ABC中，AC=BC=10，以BC為直徑作⊙O交AB于點D，交AC于點G，DF⊥AC于F，交CB的延長線于點E．
（1）求證：直線EF是⊙O的切線；
（2）若sin∠E=

2

5

，求AB的長．

Answer 1

分析：（1）連接OD，根據等腰三角形性質求出∠A=∠ABC=∠ODB，推出OD∥AC，推出OD⊥DF，根據切線判定推出即可；
（2）連接BG，推出BG∥EF，推出∠E=∠GBC，根據已知推出sin∠GBC=

2

5

=

CG

BC

，求出CG，求出AG，根據勾股定理求出BG，在△BGA中，根據勾股定理求出AB即可．

解答：（1）證明：連接OD，
∵AC=BC，
∴∠ABC=∠BAC，
∵OD=OB，
∴∠ABC=∠ODB，
∴∠BAC=∠BDO，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
∵OD為半徑，
∴直線EF是⊙O的切線；

（2）解：連接BG，
∵BC是⊙O直徑，
∴∠BGC=90°，
∵DF⊥AC，
∴∠DFC=90°=∠BGC，
∴BG∥EF，
∴∠E=∠GBC，
∵sin∠E=

2

5

，
∴sin∠GBC=

2

5

=

CG

BC

，
∵BC=10，
∴CG=4，
∴AG=10-4=6，由勾股定理得：BG=

BC2-CG2

=2

21

，
在Rt△BGA中，由勾股定理得：AB=

BG2+AG2

=

(2 21 )2+62

=2

30

，即AB=2

30

．

點評：本題考查了勾股定理，切線的判定，平行線的性質和判定，解直角三角形等知識點的綜合運用，題目綜合性比較強，有一定的難度．