Question

若2836，4582，5164，6522四個自然數都被同一個自然數相除，所得余數相同且為兩位數，除數和余數的和為？

Answer 1

分析：根據同余定理，余數相同的兩數之差，能被除數整除，所以可求出3組差，然后求出這三個差的最大公因數，把最大公因數分解質因數，每一個質因數或幾個質因數的積都可能是除數；再結合所得余數相同且為兩位數，去掉不符合條件的數，即可得到答案．

解答：解：4582-2836=1746，
5164-4582=582，
6522-5164=1358；
1746，582，1358這三個數的最大公因數為：194=2×97；
2836÷194=14…120（余數為三位數，不符合條件；所以，除數只能是97）；
2836÷97=29…23，
4582÷97=47…23，
5164÷97=53…23，
6522÷97=67…23；
所以，除數和余數的和是：97+23=120．
答：除數和余數的和是120．

點評：考查了帶余除法，本題是典型的同余問題，是求這幾個數的“模”和余數，所以先把余數去掉使其成為能被“模”整除的數是本題解答的關鍵和難點．