Question

在Rt△ABC中，直角邊AB為直徑的半圓O，與斜邊AC交于D，點E是BC邊的中點，連接DE，
①DE與半圓O相切嗎？若相切，請給出證明；若不相切，請說明情況．
②若AC、AB的長是方程x²-10x+24=0的根，求直角邊BC的長．

Answer 1

分析：①相切．連接OD，證明OD⊥DE即可．連接OE，則OE∥AC，可證∠BOE=∠DOE，根據SAS判定△BOE≌△DOE，得∠ODE=∠B=90°．得證．
②解方程可得AC、AB的長，運用勾股定理求BC．

解答：解：（1）DE與半圓O相切．
證明：連接OD、OE．
∵O、E分別是BA、BC的中點，
∴OE∥AC，
∴∠BOE=∠BAC，∠EOD=∠ADO，
∵OA=OD，
∴∠ADO=∠BAC．
∴∠BOE=∠EOD．
∵OD=OB，OE=OE，
∴△OBE≌△ODE．
∴∠ODE=∠OBE=90°．
∴DE與半圓O相切．

（2）∵AC，AB的長是方程x²-10x+24=0的兩個根，
∴解方程x²-10x+24=0得：x₁=4，x₂=6．
∵AB＜AC，
∴AB=4，AC=6，
∴BC=

AC2-AB2

=

62-42

=

36-16

=2

5

．

點評：此題考查了相似三角形的判定和性質的應用、切線的判定、解一元二次方程、勾股定理等知識點，綜合性較強．