Question

【題目】如圖，在⊙O中，點A是劣弧BC的中點，點D是優弧BC上一點，且sinD＝，求證：四邊形ABOC為菱形．

Answer 1

【答案】證明見解析

【解析】

由垂徑定理的推論求得∠AEB＝90°，然后解直角三角形求得∠ABE＝30°，然后由圓周角定理得到∠BAE＝60°，從而判定△AOB是等邊三角形，得到OA＝AB＝OB，然后由垂徑定理求得AC＝AB，從而根據四邊相等的四邊形是菱形即可判斷．

解：∵點A是劣弧BC的中點，

∴OA⊥BC，

∴∠AEB＝90°，

∵∠D＝∠ABE，

∴sin∠D＝sin∠ABE＝＝，

∴∠ABE＝30°，

∴∠BAE＝60°，

∵OA＝OB，

∴△AOB是等邊三角形，

∴OA＝AB＝OB，

∵OA⊥BC，

∴

∴AC＝AB，

∴AC＝OC＝OB＝AB，

∴四邊形ACOB是菱形．