Question

如圖，正方形ABCD中，E為CD的中點，EF⊥AE，交BC于點F．
（1）試探求∠1與∠2的大小關系并說明理由．
（2）用尺規作出△ABF的外接圓（保留作圖痕跡），記作O，判斷直線CD與⊙O的位置關系并證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先根據∠1+∠CEF=90°，∠DAE+∠1=90°，可得∠DAE=∠CEF，然后證明△ADE∽△ECF，根據相似可得出AE=2EF，AD=2DE，對應邊成比例可證明△ADE∽△AEF，即可證明∠1=∠2；
（2）直角三角形外接圓圓心在斜邊中點處，由此可作出圓，證明OE⊥CD，可得出直線CD與⊙O相切．
解答：解：∠1=∠2，理由如下：
∵∠1+∠CEF=90°，∠DAE+∠1=90°，
∴∠DAE=∠CEF，
∵∠ADE=∠ECF=90°，
∴△ADE∽△ECF，且相似比為2，
∴AE=2EF，AD=2DE，
又∵∠ADE=∠AEF，
∴△ADE∽△AEF，
∴∠1=∠2；

（2）直線CD與⊙O相切．理由如下：
圓心O在AF的中點上，如圖所示，連接OE，則OF=OE，故可得∠2=∠OEF，
∵∠1+∠CEF=90°，∠1=∠2，
∴∠2+∠CEF=90°，
∴∠OEF+∠CEF=90°，
即OE⊥CD，
故直線CD與⊙O相切．
點評：本題考查了切線的判定及性質，注意掌握直角三角形外接圓圓心在斜邊中點處，另外要求同學們掌握切線的判定定理，有一定難度．