Question

求證：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．

Answer 1

分析：首先寫出已知、求證，畫出圖形，借助等邊三角形的判定和性質證明或借助三角形的外接圓證明．

解答：
已知，在Rt△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°．
求證：BC=

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AB．
證明：
證法一：如答圖所示，延長BC到D，使CD=BC，連接AD，易證AD=AB，∠BAD=60°．
∴△ABD為等邊三角形，
∴AB=BD，
∴BC=CD=

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AB，即BC=

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AB．

證法二：如答圖所示，取AB的中點D，
連接DC，有CD=

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AB=AD=DB，
∴∠DCA=∠A=30°，∠BDC=∠DCA+∠A=60°．
∴△DBC為等邊三角形，
∴BC=DB=

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AB，即BC=

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AB．

證法三：如答圖所示，在AB上取一點D，使BD=BC，
∵∠B=60°，
∴△BDC為等邊三角形，
∴∠DCB=60°，∠ACD=90°-∠DCB=90°-60°=30°=∠A．
∴DC=DA，即有BC=BD=DA=

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AB，
∴BC=

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AB．

證法四：如圖所示，作△ABC的外接圓⊙D，∠C=90°，AB為⊙O的直徑，
連DC有DB=DC，∠BDC=2∠A=2×30°=60°，
∴△DBC為等邊三角形，
∴BC=DB=DA=

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AB，即BC=

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AB．

點評：此題考查了直角三角形性質的證明過程，能夠熟練運用等邊三角形的判定和性質進行證明．