Question

如圖，正方形ABCD的四個頂點分別在四條平行線l₁、l₂、l₃、l₄上，這四條直線中相鄰兩條之間的距離依次為h₁、h₂、h₃（h₁＞0，h₂＞0，h₃＞0）．
（1）求證：h₁=h₃； 
（2）設正方形ABCD的面積為S，求證：S=（h₂+h₁）²+h₁²；
（3）若

3

2

h1+h2=1，當h₁變化時，說明正方形ABCD的面積為S隨h₁的變化情況．

Answer 1

分析：（1）過A點作AF⊥l₃分別交l₂、l₃于點E、F，過C點作CH⊥l₂分別交l₂、l₃于點H、G，根據(jù)正方形的性質和平行線的性質，證△ABE≌△CDG即可；
（2）易證△ABE≌△BCH≌△CDG≌△DAF，且兩直角邊長分別為h₁、h₁+h₂，四邊形EFGH是邊長為h₂的正方形，所以
S=4×

1

2

h1(h1+h2)+h22=2h12+2h1h2+h22=(h1+h 2)2+h12．
（3）根據(jù)題意用h₂關于h₁的表達式代入S，即可求出h₁取何范圍是S的變化．

解答：（1）證明：過A點作AF⊥l₃分別交l₂、l₃于點E、F，過C點作CH⊥l₂分別交l₂、l₃于點H、G，
∵四邊形ABCD是正方形，l₁∥l₂∥l₃∥l₄，
∴AB=CD，∠ABE+∠HBC=90°，
∵CH⊥l₂，
∴∠BCH+∠HBC=90°，
∴∠BCH=∠ABE，
∵∠BCH=∠CDG，
∴∠ABE=∠CDG，
∵∠AEB=∠CGD=90°，
在△ABE和△CDG中，

∠ABE=∠CDG ∠AEB=∠CGD AB=CD

，
∴△ABE≌△CDG（AAS），
∴AE=CG，
即h₁=h₃，

（2）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，
∵∠AEB=∠DFA=∠BHC=∠CGD=90°，∠ABE=∠FAD=∠BCH=∠CDG，
∴△AEB≌△DAF≌△BCH≌△CGD，且兩直角邊長分別為h₁、h₁+h₂，
∴四邊形EFGH是邊長為h₂的正方形，
∴S=4×

1

2

h1(h1+h2)+h22=2h12+2h1h2+h22=(h1+h 2)2+h12，

（3）解：由題意，得h2=1-

3

2

h1，
所以

S=(h1+1- 3 2 h1)2+h12= 5 4 h12-h1+1 = 5 4 (h1- 2 5 )2+ 4 5

，
又

h1＞0 1- 3 2 h1＞0

，
解得0＜h₁＜

2

3

，
∴當0＜h₁＜

2

5

時，S隨h₁的增大而減小；
當h₁=

2

5

時，S取得最小值

4

5

；當

2

5

＜h₁＜

2

3

時，S隨h₁的增大而增大．

點評：本題主要考查全等三角形的判定和性質、平行線的性質、直角三角形的性質，本題的關鍵在于作好輔助線，根據(jù)已知找到全等三角形即可