Question

（2012•西寧）如圖（1），AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，若直線CD與⊙O相切于點C，AD⊥CD，垂足為D．
（1）求證：△ADC∽△ACB；
（2）如果把直線CD向下平行移動，如圖（2），直線CD交⊙O于C、G兩點，若題目中的其他條件不變，且AG=4，BG=3，求tan∠DAC的值．

Answer 1

分析：（1）連OC，根據切線的性質得到OC⊥CD，而AD⊥CD，則AD∥OC，根據平行線的性質得∠1=∠2，易得∠1=∠3，則∠2=∠3，又根據圓周角定理的推論由AB為⊙O的直徑得到∠ACB=90°，根據三角形相似的判定即可得到結論；
（2）由于四邊形ABGC為⊙O的內接四邊形，根據圓的內接四邊形的性質得∠B+∠ACG=180°，易得∠ACD=∠B，又∠ADC=∠AGB=90°，利用等角的余角相等得到∠DAC=∠GAB，在Rt△ABG中，AG=4，BG=3，根據正切的定義得到tan∠GAB=

GB

GA

=

3

4

，即可得到tan∠DAC的值．

解答：（1）證明：連OC，如圖
∵直線CD與⊙O相切于C，
∴OC⊥CD，
又∵AD⊥CD，
∴AD∥OC，
∴∠1=∠2，
∵OC=OA，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
又∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴Rt△ADC∽Rt△ACB；

（2）解：∵四邊形ABGC為⊙O的內接四邊形，
∴∠B+∠ACG=180°，
而∠ACG+∠ACD=180°，
∴∠ACD=∠B，
而∠ADC=∠AGB=90°，
∴∠DAC=∠GAB，
在Rt△ABG中，AG=4，BG=3，
∴tan∠GAB=

GB

GA

=

3

4

，
∴tan∠DAC=

3

4

．

點評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握圓周角定理、圓的切線性質和圓的內接四邊形的性質是解題的關鍵；同時運用三角形相似的判定方法和三角函數的定義解決問題．