Question

已知一拋物線經過（0，0），（1，1）兩點，且解析式的二次項系數為

（＞0）.

1.當時，求該拋物線的解析式，并用配方法求出該拋物線的頂點坐標；

2.已知點（0，1），若拋物線與射線相交于點，與軸相交于點（異于原點），當在什么范圍內取值時，的值為常數？當在什么范圍內取值時，的值為常數？

3.若點（，）在拋物線上，則稱點為拋物線的不動點.將這條拋物線進行平移，使其只有一個不動點，此時拋物線的頂點是否在直線上，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

 

1.設該拋物線的解析式為，

∵拋物線經過（0，0）、（1，1）兩點，

∴，解得.

∴該拋物線的解析式為 ………………………………………1分

（Ⅰ）當時，該拋物線的解析式為  …………………………2分

.

該拋物線的頂點坐標為（1，1）            . ……………………………………3分

2.∵點在軸上，∴點的縱坐標為0.

當時，有，解得，.

∵點異于原點，∴點的坐標為（，0）.∴ ………………4分

∵點在射線上，∴點的縱坐標為1.

當時，有，，

解得，.

點的坐標為（1，1）或（，1）           . ……………………………5分

當點的坐標為（1，1）時，與重合，此時，，.

與的值都是常數2.

當點的坐標為（，1）時，

若點在點右側，此時＞1，.

∴，.

若點在點左側，此時0＜＜1，.

∴，.

∴當0＜≤1時，的值是常數2.  ..………………………………6分

當≥1時，的值是常數2.     ……………………………………7分

3.設平移后的拋物線的解析式為，

由不動點的定義，得方程：，           ………………8分

即.

∵平移后的拋物線只有一個不動點，∴此方程有兩個相等的實數根.

∴判別式，              .…………………9分

有，.

∴頂點（，）在直線上.      …………………………………10分

【解析】先用二次項系數為及O、B兩點坐標，

得出拋物線的解析式為

（I）     把代入求得拋物線的解析式，然后利用拋物線圖象的性質求出頂點坐標；

（II）   利用N點坐標在x軸上求出N點坐標，利用M點在直線AB上求出M點坐標，分別討論M點在B點兩側情況，從而得出ON+BM和ON-BM為常數的a取值范圍；

設平移后的拋物線的解析式為，利用不動點的定義，把P點坐標代入拋物線方程中，利用只有一個不動點，即是方程有兩個相等的實數根的性質得出h、k的關系，得出點（h，k）在直線上.