Question

【題目】如圖，在長方形中，，線段上有動點，過作直線交邊于點，并使得．

當與重合時，求的長；

在直線上是否存在一點，使得是等腰直角三角形？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】；或或時，是等腰直角三角形．

【解析】

（1）根據N與A重合時，BN=AB，然后代入數據進行計算即可得解；
（2）分①∠PNM=90°時，求出△APN和△BNM全等，根據全等三角形對應邊相等可得AN=BM，AP=BN，然后根據AB=3列出方程計算即可得解；②∠PMN=90°時，過點P作PE⊥BC于E，求出△PME和△MNB全等，根據全等三角形對應邊相等可得PE=BM，BN=ME，再根據BE=BM+ME列式計算即可得解；③∠MPN=90°時，過點M作MF⊥AD于F，求出△APN和△FMP全等，根據全等三角形對應邊相等可得AP=MF．

與重合時，，

∴；①時，如圖，易得，

在和中，，

∴≌，

∴，，

∵，

∴，

解得，

∴；

②時，如圖，過點作于，

易得，

在和中，，

∴≌，

∴，，

∴；

③時，如圖，過點作于，

易得，

在和中，，

∴≌，

∴，

綜上所述，或或時，是等腰直角三角形．