Question

如圖，在平面直角坐標系中，△ABC是⊙O的內接三角形，AB＝AC，點P是的中點，連接PA，PB，PC．

（1）如圖①，若∠BPC＝60°，求證：；

（2）如圖②，若，求的值．

 

Answer 1

【答案】

（1）先根據圓周角定理可得∠BAC＝∠BPC＝60°，即可證得△ABC為等邊三角形，則可得∠ACB＝60°，由點P是弧AB的中點，可得∠ACP＝30°，再結合∠APC＝∠ABC＝60°即可求得結果；（2）

【解析】

試題分析：（1）先根據圓周角定理可得∠BAC＝∠BPC＝60°，即可證得△ABC為等邊三角形，則可得∠ACB＝60°，由點P是弧AB的中點，可得∠ACP＝30°，再結合∠APC＝∠ABC＝60°即可求得結果；

（2）連接AO并延長交PC于F，過點E作EG⊥AC于G，連接OC．由AB＝AC可得AF⊥BC，BF＝CF．由點P是弧AB中點可得∠ACP＝∠PCB，即可得到EG＝EF．由∠BPC＝∠FOC可得sin∠FOC＝sin∠BPC=．設FC＝24a，根據勾股定理可得OC＝OA＝25a，則OF＝7a，AF＝32a．在Rt△AFC中，根據勾股定理可表示出AC的長，在Rt△AGE和Rt△AFC中，根據三角函數的定義求解即可．

（1）∵弧BC＝弧BC

∴∠BAC＝∠BPC＝60°．

又∵AB＝AC，

∴△ABC為等邊三角形

∴∠ACB＝60°，

∵點P是弧AB的中點，

∴∠ACP＝30°，

又∠APC＝∠ABC＝60°，

∴AC＝AP；

（2）連接AO并延長交PC于F，過點E作EG⊥AC于G，連接OC．

∵AB＝AC，

∴AF⊥BC，BF＝CF．

∵點P是弧AB中點，

∴∠ACP＝∠PCB，

∴EG＝EF．

∵∠BPC＝∠FOC，

∴sin∠FOC＝sin∠BPC=．

設FC＝24a，則OC＝OA＝25a，

∴OF＝7a，AF＝32a．

在Rt△AFC中，AC²＝AF²+FC²，

∴AC＝40a．

在Rt△AGE和Rt△AFC中，sin∠FAC＝，

∴，

∴EG＝12a．

∴tan∠PAB＝tan∠PCB=．

考點：圓的綜合題

點評：此類問題是初中數學的重點和難點，在中考中極為常見，一般以壓軸題形式出現，難度較大.