Question

【題目】（1）如圖1，在中，90°，點為的中點，以為一邊作正方形，點恰好與點重合，則線段與的數量關系為________；

（2）在（1）的條件下，如果正方形繞點旋轉，連接，

①線段與的數量關系有無變化？請僅就圖2的情形給出證明；

②當正方形旋轉到三點共線時，直接寫出線段的長．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①不變化，證明見解析；②或．

【解析】

（1）先利用等腰直角三角形的性質得出AB=AD，再得出AD=AF，即可得出結論；
（2）①先利用等腰直角三角形和正方形的性質得：，并證明夾角相等即可得出△ACF∽△BCE，進而得出結論；
②分兩種情況：當點E在線段BF上時，如圖2，先利用勾股定理求出EF=CF=AD=2，BF=2，即可得出BE=2-2，借助（2）得出的結論；當點E在線段BF的延長線上，同前一種情況一樣即可得出結論．

解：（1）BE=AF，理由如下：
在Rt△ABC中，AB=AC，
∵D是BC的中點，
∴AD=BC=BD，AD⊥BC，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AB=AD，
∵正方形CDEF，
∴DE=EF，
當點E恰好與點A重合，
∴AB=AD=AF，即BE=AF，
故答案為：BE=AF；

（2）①不變化，證明如下：

證明：，．

，，．

四邊形是正方形，

，

，

，

．

又，

，

；

②當點E在線段AF上時，如圖2，
由（1）知，CF=EF=CD=2，
在Rt△BCF中，CF=2，BC=4，根據勾股定理得，BF=2，
∴BE=BF-EF=2-2，
由（2）知，BE=AF，
∴AF=2-2，
當點E在線段BF的延長線上時，如圖3，
在Rt△ABC中，AB=AC=4，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴sin∠ABC=

∵∠FCE=∠ACB=45°，
∴∠FCB+∠ACB=∠FCB+∠FCE，
∴∠FCA=∠ECB，
∴△ACF∽△BCE，

，

∴BE=AF，
由（1）知，CF=EF=CD=2，
在Rt△BCF中，CF=2，BC=4，
根據勾股定理得，BF=2，
∴BE=BF+EF=2+2，
由（2）知，BE=AF，
∴AF=2+2．
故當正方形CDEF旋轉到B，E，F三點共線時候，線段AF的長為2-2或2+2．