Question

如圖所示，已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°．
（1）尺規作圖：作∠BAC的平分線AM交BC于點D（只保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）在（1）所作圖形中，將Rt△ABC沿某條直線折疊，使點A與點D重合，折痕EF交AC于點E，交AB于點F，連接DE、DF，再展回到原圖形，得到四邊形AEDF．
①試說明四邊形AEDF為平行四邊形；
②若AB=10，BC=8，在折痕EF上有一動點P，求PC+PD的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據作角平分線的作圖方法進行；
（2）①根據對稱性，圍繞證明對角線互相平分找條件；②求線段和最小的問題，P點的確定方法是：找D點關于直線EF的對稱點A，再連接AC，AC與直線EF的交點即為所求．

解答：解：（1）如圖所示．

（2）①由折疊可知，EF垂直平分AD于O點，
又∵AD平分∠BAC，
∴△AEO≌△AFO，OE=OF，
∴四邊形AEDF為平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）．
②已知D點關于直線EF的對稱點為A，AC與EF的交點E即為所求的P點，
PC+PD的最小值為：CP+DP=CE+DE=CE+AE=AC=

AB2-BC2

=6．

點評：本題考查了尺規作圖的方法，折疊問題以及平行四邊形的判定．解題過程中應注意折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據軸對稱的性質，折疊前后圖形的形狀和大小不變，如本題中折疊前后線段相等．