Question

如圖1，在平面直角坐標系中，O是坐標原點，?ABCD的頂點A的坐標為（-2，0），點D的坐標為（0，），點B在x軸的正半軸上，點E為線段AD的中點，過點E的直線l與x軸交于點F，與射線DC交于點G．
（1）求∠DCB的度數；
（2）當點F的坐標為（-4，0）時，求點G的坐標；
（3）連接OE，以OE所在直線為對稱軸，△OEF經軸對稱變換后得到△OEF′，記直線EF′與射線DC的交點為H．
①如圖2，當點G在點H的左側時，求證：△DEG∽△DHE；
②若△EHG的面積為，請直接寫出點F的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于平行四邊形的對角相等，只需求得∠DAO的度數即可，在Rt△OAD中，根據A、D的坐標，可得到OA、OD的長，那么∠DAO的度數就不難求了．
（2）根據點E、F的坐標求得直線EF的方程，然后將點G的縱坐標代入該直線方程即可求得點G的橫坐標．
（3）①根據A、D的坐標，易求得E點坐標，即可得到AE、OE的長，由此可判定△AOE是等邊三角形，那么∠OEA=∠AOE=∠EOF′=60°，由此可推出OF′∥AE，即∠DEH=∠OF′E，根據軸對稱的性質知∠OF′E=∠EFA，通過等量代換可得∠EFA=∠DGE=∠DEH，由此可證得所求的三角形相似．
②過E作CD的垂線，設垂足為M，則EM為△EGH中GH邊上的高，根據△EGH的面積即可求得GH的長，在①題已經證得△DEG∽△DHE，可得DE²=DG•DH，可設出DG的長，然后表示出DH的值，代入上面的等量關系式中，即可求得DG的長，根據軸對稱的性質知：DG=AF，由此得到AF的長，進而可求得F點的坐標，需注意的是，在表示DH的長時，要分兩種情況考慮：一、點H在G的右側，二、點H在G的左側．
解答：解：（1）在直角△OAD中，∵tan∠OAD==，
∴∠A=60°，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠C=∠A=60°；

（2）∵點A的坐標為（-2，0），點D的坐標為（0，），點E為線段AD的中點，
∴點E的坐標是（-1，）．
設直線EF的方程為y=kx+b（k≠0），則，
解得，，
∴直線EF的解析式是：y=x+．
又∵點G的縱坐標是2，
∴2=x+．
解得，x=2，
∴點G的坐標是（2，2）；

（3）①證明：∵E（-1，），AE=DE=2，OE=OA=2，
∴△OAE是等邊三角形，則∠AOE=∠AEO=60°；
根據軸對稱的性質知：∠AOE=∠EOF′，故∠EOF′=∠AEO=60°，即OF′∥AE，
∴∠OF′E=∠DEH；
∵∠OF′E=∠OFE=∠DGE，
∴∠DGE=∠DEH，
又∵∠GDE=∠EDH，
∴△DGE∽△DEH．

②過點E作EM⊥直線CD于點M，
∵CD∥AB，
∴∠EDM=∠DAB=60°，
∴EM=DE•sin60°=2×=，
∵S_△EGH=GH•ME=×GH=3，
∴GH=6；
∵△DHE∽△DEG，
∴=即DE²=DG•DH，
當點H在點G的右側時，設DG=x，DH=x+6，
∴4=x（x+6），
解得：x₁=-3+，x₂=-3-（舍去），
∴點F的坐標為（1-，0）；
當點H在點G的左側時，設DG=x，DH=x-6，
∴4=x（x-6），
解得：x₁=3+，x₂=3-（舍去），
∵△DEG≌△AEF，
∴AF=DG=3+，
∵OF=AO+AF=3++2=5+，
∴點F的坐標為（--5，0），
綜上可知，點F的坐標有兩個，分別是F₁（1-，0），F₂（--5，0）．
點評：此題涉及的知識點較多，主要有：平行四邊形的性質、軸對稱的性質、全等三角形以及相似三角形的判定和性質，綜合性強，難度較大．