Question

等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=60°，AD=BC=CD=6cm．
（1）請寫∠BCD的度數（可直接寫出）．
（2）試求梯形ABCD的底邊AB的長度．
（3）有一動點E以2cm/s的速度從C點出發，沿著DC的延長線向右運動，連接BE．當點E的運動時間t為多少秒時，△BEC恰好為直角三角形？
（4）有一動點E以2cm/s的速度從C點出發，沿著DC的延長線向右運動，同時有一動點N以1cm/s的速度從B點出發，沿著射線BC運動，連接EN．當運動過程中，△ECN的面積是否存在最大值，若存在，試求出時間t；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據等腰梯形同一底上的兩個角相等可得∠ABC=60°，再根據兩直線平行，同旁內角互補即可求解；
（2）過點D作DF∥BC，可以證明△ADF是等邊三角形，四邊形BCDF是平行四邊形，根據等邊三角形的三條邊都相等以及平行四邊形的對邊相等即可得解；
（3）先求出∠BCE=60°，然后分①∠CEB=90°與②∠CBE=90°兩種情況，根據30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出CE的長度，然后根據時間=路程÷速度進行計算；
（4）表示出CN的長度，過點N作NF⊥CE于點F，根據三角函數求出NF，然后利用三角形的面積列式表示出△ECN的面積，再根據二次函數的最值問題求解即可．

解答：解：（1）∵等腰梯形ABCD中，∠A=60°，
∴∠ABC=60°，
∵AB∥CD，
∴∠BCD=180°-∠ABC=180°-60°=120°；

（2）過點D作DF∥BC，
∵AB∥CD，
∴四邊形BCDF是平行四邊形，
∴BF=CD，DF=BC，
∵AD=BC，∠A=60°，
∴△ADF是等邊三角形，
∴AF=AD，
∵AD=BC=CD=6cm，
∴AB=AF+CD=6+6=12cm；

（3）∵∠BCD=120°，
∴∠BCE=60°，
①∠CEB=90°時，∠CBE=90°-∠BCE=90°-60°=30°，
∴CE=

1

2

×BC，
即2t=

1

2

×6，
解得t=

3

2

秒，
②∠CBE=90°時，∠CEB=90°-∠BCE=90°-60°=30°，
∴CE=2BC，
即2t=2×6，
解得t=6秒；
綜上所述，點E的運動時間t為

3

2

秒或6秒時，△BEC恰好為直角三角形；

（4）∵點E的速度是2cm/s，點N的速度是1cm/s，
∴CE=2t，BN=t，
∴CN=BC-BN=6-t，
過點N作NF⊥CE于點F，則NF=CN•sin60°=

3

2

（6-t），
∴S_△ECN=

1

2

×2t•

3

2

（6-t），
=

3

2

（-t²+6t），
=-

3

2

（t²-6t+9）+

9 3

2

，
=-

3

2

（t-3）²+

9 3

2

，
∴當t=3秒時，△ECN的面積最大，最大值是

9 3

2

．

點評：本題考查了等腰梯形的性質，直角三角的性質，等邊三角形的性質，二次函數的最值問題，等腰梯形的問題，準確作出輔助線往往是解題的關鍵．