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17.如圖,已知B是線段AD上的一點,△ABC、△BDE均為等邊三角形,AE交BC于P,CD交BE于Q,則結論:①AE=CD;②CQ=CA;③PQ∥AD;④EP=QD中,其中正確結論是①③④.

分析 由等邊三角形的性質可證得△ABE≌△CBD,可求得AE=CD,可判斷①;由全等三角形的性質得出∠BAP=∠BCQ,證出∠ABC=∠CBQ=60°,由ASA證明△ABP≌△CBQ,得出CQ=AP≠CA,可判斷②;證明△PBQ是等邊三角形,得出∠BPQ=60°=∠ABC,由平行線的判定方法得出PQ∥AD,可判斷③;由AE=CD,AP=CQ,得出EP=QD,可判斷④;可求得答案.

解答 解:
∵△ABC、△BDE均為等邊三角形,∴AB=AC=BC,BD=BE,∠ABC=∠EBD=60°,
∴180°-∠EBD=180°-∠ABC,
即∠ABE=∠CBD,
在△ABE與△CBD中,
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}\\{∠ABE=∠CBD}\\{BE=BD}\end{array}\right.$,
∴△ABE≌△CBD(SAS),
∴AE=CD,故①正確;
∴∠BAP=∠BCQ,
∵∠ABC=∠EBD=60°,
∴∠CBQ=180°-60°×2=60°,
∴∠ABC=∠CBQ=60°,
在△ABP與△CBQ中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAP=BCQ}\\{AB=CB}\\{∠ABC=∠CBQ}\end{array}\right.$,
∴△ABP≌△CBQ(ASA),
∴CQ=AP≠CA,故②不正確;
∵∠CBQ=60°,BP=BQ,
∴△PBQ是等邊三角形,
∴∠BPQ=60°=∠ABC,
∴PQ∥AD,故③正確;
∵AE=CD,AP=CQ,
∴EP=QD,故④正確;
綜上可知正確的為①③④,
故答案為:①③④.

點評 本題考查了等邊三角形的判定與性質、全等三角形的判定及性質、平行線的判定等知識;本題綜合性強,難度不大,證明三角形全等是解決問題的關鍵.

練習冊系列答案
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9.計算:
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6.已知關于x的方程2ax=(a+1)x+3的解是正整數,則正整數a=2,4.

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7.計算
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②(-5)2÷[2$\frac{1}{2}$-(-1+2$\frac{1}{4}$)]×0.4.

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