Question

17．如圖，已知B是線段AD上的一點，△ABC、△BDE均為等邊三角形，AE交BC于P，CD交BE于Q，則結論：①AE=CD；②CQ=CA；③PQ∥AD；④EP=QD中，其中正確結論是①③④．

Answer 1

分析 由等邊三角形的性質可證得△ABE≌△CBD，可求得AE=CD，可判斷①；由全等三角形的性質得出∠BAP=∠BCQ，證出∠ABC=∠CBQ=60°，由ASA證明△ABP≌△CBQ，得出CQ=AP≠CA，可判斷②；證明△PBQ是等邊三角形，得出∠BPQ=60°=∠ABC，由平行線的判定方法得出PQ∥AD，可判斷③；由AE=CD，AP=CQ，得出EP=QD，可判斷④；可求得答案．

解答 解：
∵△ABC、△BDE均為等邊三角形，∴AB=AC=BC，BD=BE，∠ABC=∠EBD=60°，
∴180°-∠EBD=180°-∠ABC，
即∠ABE=∠CBD，
在△ABE與△CBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}\\{∠ABE=∠CBD}\\{BE=BD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE=CD，故①正確；
∴∠BAP=∠BCQ，
∵∠ABC=∠EBD=60°，
∴∠CBQ=180°-60°×2=60°，
∴∠ABC=∠CBQ=60°，
在△ABP與△CBQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAP=BCQ}\\{AB=CB}\\{∠ABC=∠CBQ}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△CBQ（ASA），
∴CQ=AP≠CA，故②不正確；
∵∠CBQ=60°，BP=BQ，
∴△PBQ是等邊三角形，
∴∠BPQ=60°=∠ABC，
∴PQ∥AD，故③正確；
∵AE=CD，AP=CQ，
∴EP=QD，故④正確；
綜上可知正確的為①③④，
故答案為：①③④．

點評 本題考查了等邊三角形的判定與性質、全等三角形的判定及性質、平行線的判定等知識；本題綜合性強，難度不大，證明三角形全等是解決問題的關鍵．