Question

一幢33層的大樓有一部電梯停在第一層，它一次最多容納32人，而且只能在第2層至第33層中某一層停一次，對于每個人來說，他往下走一層樓梯感到1分不滿意，往上走一層樓梯感到3分不滿意，現在有32個人在第一層，并且他們分別住在第2至第33層的每-層，問：電梯停在哪一層時，可以使得這32個人不滿意的總分達到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘電梯即直接從樓梯上樓）．

Answer 1

【答案】分析：通過引元，把不滿意的總分用相關的字母的代數式表示，然后對代數式進行恰當的配方，進而求出代數式的最小值．
解答：解：由題意易知，這32個人恰好是第2層至第33層各住1人，對于每個乘電梯上、下樓的人，他所住的層數一定不小于直接上樓的人所住的層數．事實上，設住s層的人乘電梯，而住在t層的人直接上樓，s＜t，交換兩人的上樓方式，其余的人不變，則不滿意的總分減少．
設電梯停在第x層，在第1層有y人沒有乘電梯即直接上樓，那么不滿意的總分為：
s=3[1+2+3+…+（33-x）]+3（1+2+…+y）+[1+2+…+（x-y-2）]，
=++，
=2x²-（y+102）x+2y²+3y+1684，
=2（x-）²+（15y²-180y+3068），
=2（x-）²+（y-6）²+316≥316．
又當x=27，y=6時，s=316，
故當電梯停在第27層時，不滿意的總分最小，最小值為316．
點評：此題是一道有趣的實際問題，在乘電梯時經常遇到．根據有32人乘電梯，而樓有33層這個事實，列出不滿意的總分，得到關于x、y的完全平方式，然后根據非負數的性質解答．