Question

已知直線l₁經過點（3，5）與（-4，-9），直線l₃∥l₁，且過直線l₂與y軸的交點B，交x軸于點A，已知直線l₂：y=-x+6．
（1）畫出直線l₃的位置，求出直線l₁、l₃的解析式和點A的坐標．
（2）若點P（x，y）是線段AB上的一動點，△OPA的面積為S，求：
①S關于x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
②請求出S的最大值或最小值．

Answer 1

分析：（1）根據題意，用代入法求出直線l₁、l₃的解析式的表達式．因為l₃交x軸于點A，根據坐標系的特征，求出A的坐標．
（2）①因為OA=3，P（x，y）是線段AB上的一動點，所以y_p=2x+6＞0，自變量x的取值范圍是-3≤x≤0．根據三角形面積公式確定S關于x的函數關系式．
②根據一次函數的性質與自變量x的取值范圍，確定最大值和最小值．

解答：解：（1）直線l₁經過點（3，5）與（-4，-9），設直線l₁：y=k₁x+b₁．
由

3k1+b1=5 -4k1+b1=-9

得

k1=2 b1=-1

，
∴直線l₁：y=2x-1．（1分）
當x=0時，y=-x+6=6，
∴B（0，6）．
∵直線l₃∥l₁，
∴設直線l₃y=2x+b₃；
且l₃過直線l₂與y軸的交點B（0，6），
∴直線l₃：y=2x+6，如圖．
由2x+6=0得x=-3，
∴A（-3，0）；

（2）①由A（-3，0）知OA=3．
∵點P（x，y）是線段AB上的一動點，
∴y_p=2x+6＞0，自變量x的取值范圍是-3≤x≤0．
∴S=

1

2

OA•yp=

1

2

×3(2x+6)=3x+9，
∴S關于x的函數關系式是S=3x+9；

②由S=3x+9知3＞0，∴y隨x的增大而增大
又-3≤x≤0，
∴x=0時，S有最大值9．
當x=-3時，S有最小值時0．

點評：本題主要考查用代入法求出直線的解析式和根據一次函數的性質與自變量x的取值范圍，確定最大值和最小值．