Question

如圖所示，某學校擬建一個含內接矩形的菱形花壇（花壇為軸對稱圖形）．矩形的四個頂點分別在菱形四條邊上，菱形ABCD的邊長AB=4米，∠ABC=60°．設AE=x米（0＜x＜4），矩形EFGH的面積為S米²．
（1）求S與x的函數關系式；
（2）學校準備在矩形內種植紅色花草，四個三角形內種植黃色花草．已知紅色花草的價格為20元/米²，黃色花草的價格為40元/米²．當x為何值時，購買花草所需的總費用最低，并求出最低總費用（結果保留根號）？

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AC、BD，根據軸對稱的性質，可得EH∥BD，EF∥AC，△BEF為等邊三角形，從而求出EF，在Rt△AEM中求出EM，繼而得出EH，這樣即可得出S與x的函數關系式．
（2）根據（1）的答案，可求出四個三角形的面積，設費用為W，則可得出W關于x的二次函數關系式，利用配方法求最值即可．
解答：解：（1）連接AC、BD，

∵花壇為軸對稱圖形，
∴EH∥BD，EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC、△BEF是等邊三角形，
∴EF=BE=AB-AE=4-x，
在Rt△AEM中，∠AEM=∠ABD=30°，
則EM=AEcos∠AEM=x，
∴EH=2EM=x，
故可得S=（4-x）×x=-x²+4x．

（2）易求得菱形ABCD的面積為8cm²，
由（1）得，矩形ABCD的面積S=-x²+4x．
則可得四個三角形的面積為（8+x²-4x），
設總費用為W，
則W=20（-x²+4x）+40（8+x²-4x）
=20x²-80x+320
=20（x-2）²+240，
∵0＜x＜4，
∴當x=2時，W取得最小，W_最小=240元．
即當x為2時，購買花草所需的總費用最低，最低費用為240元．
點評：本題考查了二次函數的應用，首先需要根據花壇為軸對稱圖形，得出EH∥BD，EF∥AC，重點在于分別得出EF、EH關于x的表達式，另外要掌握配方法求二次函數最值的應用．