Question

【題目】如圖①：在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=ADC=90°，E、F分別是BC，CD上的點，且∠EAF=60°，探究圖中線段BE，EF，FD之間的數量關系。

（1）小王同學探究此問題的方法是：延長FD到點G，使DG=BE，連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，即可得出BE，EF，FD之間的數量關系，他的結論應是____________。

象上面這樣有公共頂點，銳角等于較大角的一半，且組成這個較大角的兩邊相等的幾何模型稱為半角模型。

（2）拓展 如圖②，若在四邊形ABCD中,，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分別是BC，CD上的點，且∠EAF=∠BAD，則BE，EF，FD之間的數量關系是________________。

請證明你的結論。

（3）實際應用 如圖③,在某次軍事演習中,艦艇甲在指揮中心(O處)北偏西35°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東75°的B處,，且兩艦艇到指揮中心的距離相等接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時的速度前進,艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里小時的速度前進，1.2小時后,指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達E，F處，且兩艦艇之間的夾角為65°,試求此時兩艦艇之間的距離是_____________海里 (直接寫出答案）。

Answer 1

【答案】（1）EF=BE+FD ；（2） EF=BE+FD；（3）168海里

【解析】

（1）延長FD到點G．使DG=BE．連結AG，即可證明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再證明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解題；

（2）延長FD到點G．使DG=BE．連結AG，即可證明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再證明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解題；

（3）連接EF，延長AE、BF相交于點C，然后與（2）同理可證．

（1）EF=BE+DF，證明如下：

在△ABE和△ADG中，

，

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，

∵∠EAF=∠BAD，

∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF，

∴∠EAF=∠GAF，

在△AEF和△GAF中，

，

∴△AEF≌△AGF（SAS），

∴EF=FG，

∵FG=DG+DF=BE+DF，

∴EF=BE+DF；

故答案為 EF=BE+DF．

（2）結論EF=BE+DF仍然成立；

理由：延長FD到點G．使DG=BE．連結AG，如圖②，

在△ABE和△ADG中，

，

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，

∵∠EAF=∠BAD，

∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF，

∴∠EAF=∠GAF，

在△AEF和△GAF中，

，

∴△AEF≌△AGF（SAS），

∴EF=FG，

∵FG=DG+DF=BE+DF，

∴EF=BE+DF；

（3）如圖③，連接EF，延長AE、BF相交于點C，

∵∠AOB=35°+90°+（90°﹣75°）=130°，∠EOF=65°，

∴∠EOF=∠AOB，

又∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=（90°﹣35°）+（75°+50°）=180°，

∴符合探索延伸中的條件，

∴結論EF=AE+BF成立，

即EF=1.2×（60+80）=168海里．

答：此時兩艦艇之間的距離是168海里．