Question

【題目】如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣4，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，﹣2），把點(diǎn)A繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的點(diǎn)C恰好在拋物線y=ax2上，點(diǎn)P是拋物線y=ax2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)O重合），把點(diǎn)P向下平移2個(gè)單位得到動(dòng)點(diǎn)Q，則：

（1）直接寫(xiě)出AB所在直線的解析式、點(diǎn)C的坐標(biāo)、a的值；

（2）連接OP、AQ，當(dāng)OP+AQ獲得最小值時(shí)，求這個(gè)最小值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）是否存在這樣的點(diǎn)P，使得∠QPO=∠OBC，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；若存在，請(qǐng)你直接寫(xiě)出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）a=；（2）OP+AQ的最小值為2，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，）；（3）P（﹣4，8）或（4，8），

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法求出直線AB解析式，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)確定出C的坐標(biāo)，代入二次函數(shù)解析式求出a的值即可；

（2）連接BQ，可得PQ與OB平行，而PQ=OB，得到四邊形PQBO為平行四邊形，當(dāng)Q在線段AB上時(shí)，求出OP+AQ的最小值，并求出此時(shí)P的坐標(biāo)即可；

（3）存在這樣的點(diǎn)P，使得∠QPO=∠OBC，如備用圖所示，延長(zhǎng)PQ交x軸于點(diǎn)H，設(shè)此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，m2），根據(jù)正切函數(shù)定義確定出m的值，即可確定出P的坐標(biāo)．

（1）設(shè)直線AB解析式為y=kx+b，

把A（﹣4，0），B（0，﹣2）代入得：，

解得：，

∴直線AB的解析式為y=﹣x﹣2，

根據(jù)題意得：點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，2），

把C（2，2）代入二次函數(shù)解析式得：a=；

（2）連接BQ，

則易得PQ∥OB，且PQ=OB，

∴四邊形PQBO是平行四邊形，

∴OP=BQ，

∴OP+AQ=BQ+AQ≥AB=2，（等號(hào)成立的條件是點(diǎn)Q在線段AB上），

∵直線AB的解析式為y=﹣x﹣2，

∴可設(shè)此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（t，﹣t﹣2），

于是，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，﹣t），

∵點(diǎn)P在拋物線y=x2上，

∴﹣t=t2，

解得：t=0或t=﹣1，

∴當(dāng)t=0，點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，不合題意，應(yīng)舍去，

∴OP+AQ的最小值為2，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，）；

（3）P（﹣4，8）或（4，8），

如備用圖所示，延長(zhǎng)PQ交x軸于點(diǎn)H，

設(shè)此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，m2），

則tan∠HPO=，

又，易得tan∠OBC=，

當(dāng)tan∠HPO=tan∠OBC時(shí)，可使得∠QPO=∠OBC，

于是，得，

解得：m=±4，

所以P（﹣4，8）或（4，8）．