Question

如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCO的邊AB=6，BC=12，直線y=-x+b與y軸交于點P，與邊BC交于點E，與邊OA交于點D．
（1）若直線y=-x+b平分矩形ABCO的面積，求b的值；
（2）當直線y=-x+b沿（1）情形下的PFE為始邊繞點P順時針旋轉時，與直線AB和x軸分別交于點N、M，問：是否存在ON平分∠ANM的情況．若存在，求線段EM的長，若不存在，說明理由；
（3）沿在（1）條件下的直線將矩形ABCO折疊．若點O落在邊AB上，求出該點坐標，若不在邊AB上，求將（1）中的直線沿y軸怎樣平移，使矩形ABCO沿平移后的直線折疊，點O恰好落在邊AB上．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據矩形的性質可知，直線y=-x+b必過矩形的中心，由題意得矩形的中心坐標為（6，3），所以3=-×6+b，解得b=12；（2）假設存在直線y=-x+b以PFE為始邊繞點P順時針旋轉時，與直線AB和x軸分別交于點N、M，且ON平分∠ANM的情況．
①當直線y=-x+12與邊AB和OC相交時．過點O作OQ⊥PM于點Q，可解ME=8-4；
②當直線y=-x+12與直線AB和x軸相交時．同上可得：ME=8+4（或由OM=MN解得）；
（3）假設沿直線y=-x+12將矩形ABCO折疊，點O落在邊AB上O′處．連接PO′，OO′．則有PO′=OP，由（1）得AB垂直平分OP，所以PO′=OO′，則△OPO′為等邊三角形．則∠OPE=30°，則（2）知∠OPE＞30°所以沿直線y=-x+12將矩形ABCO折疊，點O不可能落在邊AB上．設沿直線y=-x+a將矩形ABCO折疊，點O恰好落在邊AB上O′處．連接P′O′，OO′．則有P′O′=OP′=a，則由題意得：AP′=a-6，∠OPE=∠AO′O，Rt△OPE中，=，即=所以AO′=9，在Rt△AP′O′中，由勾股定理得：（a-6）²+9²=a²解得：a=，所以將直線y=-x+12沿y軸向下平移單位得直線y=-x+，將矩形ABCO沿直線y=-x+折疊，點O恰好落在邊AB上．
解答：解：（1）因為直線y=-x+b平分矩形ABCO的面積，所以其必過矩形的中心，由題意得矩形的中心坐標為（6，3），
∴3=-×6+b，
解得b=12．
（2）

假設存在直線y=-x+b以PFE為始邊繞點P順時針旋轉，
時，與直線AB和x軸分別交于點N、M，且ON平分∠ANM的情況．
①當直線y=-x+12與邊AB和OC相交時．
過點O作OQ⊥PM于點Q，
因為ON平分∠ANM，且OA⊥AB，所以OQ=OA=6，由（1）知OP=12，
在Rt△OPQ中，解得∠OPM=30°；
在Rt△OPM中，解得OM=4；
當y=0時，有一x+12=0，解得：x=8，
所以OE=8，
所以ME=8-4（7分）
②當直線y=-x+12與直線AB和x軸相交時．
同上可得：ME=8+4（8分）（或由OM=MN解得）

（3）

假設沿直線y=-x+12將矩形ABCO折疊，點O落在邊AB上O′處．
連接PO′，OO′，則有PO′=OP，
由（1）得AB垂直平分OP，所以PO′=OO′，
則△OPO′為等邊三角形．則∠OPE=30°，則（2）知∠OPE＞30°，
所以沿直線y=-x+12將矩形ABCO折疊，點O不可能落在邊AB上．
設沿直線y=-x+a將矩形ABCO折疊，點O恰好落在邊AB上O′處．
連接P′O′，OO′．則有P′O′=OP′=a，
則由題意得：AP′=a-6，∠OPE=∠AO′O，
在Rt△OPE中，tan∠OPE=在Rt△OAO′中，tan∠AO′O=，
所以=，即=，
所以AO′=9，
在Rt△AP′O′中，由勾股定理得：（a-6）²+9²=a²
解得：a=，
所以將直線y=-x+12沿y軸向下平移單位得直線y=-x+，
將矩形ABCO沿直線y=-x+折疊，點O恰好落在邊AB上．
點評：主要考查了函數和幾何圖形的綜合運用．解題的關鍵是會靈活的運用函數圖象上點的意義和相似三角形的性質來表示相應的線段之間的關系，再結合具體圖形的性質求解．試題中貫穿了方程思想和數形結合的思想，請注意體會．