Question

【題目】我們給拋物線y＝a（x﹣h）2＋k（a≠0）定義一種變換，先作這條拋物線關于原點對稱的拋物線，再將得到的對稱拋物線向上平移m（m＞0）個單位長度，得到新的拋物線ym，則我們稱ym為二次函數y＝a（x﹣h）2＋k（a≠0）的m階變換．若拋物線M的6階變換的關系式為．

（1）拋物線M的函數表達式為　 　；

（2）若拋物線M的頂點為點A，與r軸相交的兩個交點中的左側交點為點B，則在拋物線上是否存在點P，使點P與直線AB的距離最短？若存在，請求出此時點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣（x＋1）2＋1　；（2）存在， P(，)

【解析】

（1）6階變換的關系式對應的函數頂點為：(1，5)，則函數M的頂點為：(﹣1，1)，即可求解；

（2）根據待定系數法求出直線AB的解析式，再由DP＝PH＝（x2﹣2x＋6﹣x﹣2）＝（x2﹣3x＋4），根據二次函數的性質即可求解．

（1）6階變換的關系式對應的函數頂點為：(1，5)，將頂點坐標先向下平移6個單位長度，再關于原點對稱，

∴變換前函數M的頂點為：(﹣1，1)，

∴函數M的表達式為：y＝﹣（x＋1）2＋1，

故答案為：y＝﹣（x＋1）2＋1；

（2）存在，理由：

y＝﹣（x＋1）2＋1，令y＝0，則x＝﹣2或0，

故點B(﹣2，0)，而點A(﹣1，1)，

將點A、B的坐標代入一次函數表達式：y＝kx＋b得：

，解得：，

故直線AB的函數表達式為：y＝x＋2，

y6′＝（x﹣1）2＋5＝x2﹣2x＋6，

如下圖，過點P作PD⊥AB交于點D，故點P作y軸的平行線交AB于點H，

∵直線AB的傾斜角為45°，則DP＝PH，

設點P（x，x2﹣2x＋6），則點H（x，x＋2），

DP＝PH＝（x2﹣2x＋6﹣x﹣2）＝（x2﹣3x＋4），

∵＞0，故DP有最小值，此時x＝，

故點P(，)．