Question

如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的切線，切點為C，BE⊥CD，垂足為E，連接AC、BC．
（1）△ABC的形狀是

 

，理由是

 

；
（2）求證：BC平分∠ABE；
（3）若∠A=60°，OA=2，求CE的長．

Answer 1

分析：（1）△ABC是直角三角形，直徑所對的圓周角是直角．
（2）由∠ACB是直角，BE⊥CD，且OC=OB，可證BC平分∠ABE；
（3）∠A=60°，可得∠ABC=∠CBE=30°，OA=2，所以，BC=2

3

，所以在直角三角形CBE中，CE=

1

2

BC=

3

．

解答：（1）解：根據圓周角定理，可得，△ABC是直角三角形，因為直徑所對的圓周角是直角．

（2）證明：∵∠ACB是直角，BE⊥CD，CD是⊙O的切線，切點為C，
∴OC⊥DE，
∴CO∥BE，
∴∠OCB=∠EBC，
又∵且OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC；
∴∠OBC=∠EBC，
∴BC平分∠ABE；

（3）解：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵∠A=60°，OA=2，
∴AB=4，
∴BC=AB•sin60°=4×

3

2

=2

3

，
∴CE=

1

2

BC=

3

．　
故答案為：（1）直角三角形；直徑所對的圓周角是直角．（3）CE等于

3

．

點評：本題考查了直角三角形、切線及圓周角的性質定理，本題綜合性較強，熟記且能運用是解答的關鍵．