Question

【題目】如圖，已知是半圓的直徑，點(diǎn)是半圓上一點(diǎn)，連結(jié)，并延長(zhǎng)到點(diǎn)，使PC =，連結(jié)．

求證：．

若，．

①求弦的長(zhǎng)．②求陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）①；②

【解析】

（1）連接AP，由圓周角定理可知∠APB=90°，故AP⊥BC，再由PC=PB即可得出結(jié)論；

（2）①先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出AP的長(zhǎng)，再由勾股定理可得出PB的長(zhǎng)；

②連接OP，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出△PAB的度數(shù)，由圓周角定理求出∠POB的長(zhǎng)，根據(jù)S陰影=S扇形BOP﹣S△POB即可得出結(jié)論．

（1）連接AP．

∵AB是半圓O的直徑，∴∠APB=90°，∴AP⊥BC．

∵PC=PB，∴△ABC是等腰三角形，即AB=AC；

（2）①∵∠APB=90°，AB=4，∠ABC=30°，∴AP=AB=2，∴BP===2；

②連接OP．

∵∠ABC=30°，∴∠POA=60°，∴∠POB=120°．

∵點(diǎn)O時(shí)AB的中點(diǎn)，∴S△POB=S△PAB=×APPB=×2×2=，∴S陰影=S扇形BOP﹣S△POB

=﹣

=π﹣．