Question

如圖，要設計一個矩形的花壇，花壇長60m，寬40m，有兩條縱向甬道和一條橫向甬道，橫向甬道的兩側有兩個半圓環形甬道，半圓環形甬道的內半圓的半徑為10m，橫向甬道的寬度是其它各甬道寬度的2倍．設橫向甬道的寬為2x m．（π的值取3）
（1）用含x的式子表示兩個半圓環形甬道的面積之和；
（2）當所有甬道的面積之和比矩形面積的多36m²時，求x的值；
（3）根據設計的要求，x的值不能超過3m．如果修建甬道的總費用（萬元）與x（m）成正比例關系，比例系數是7.59，花壇其余部分的綠化費用為0.03萬元/m²，那么x為何值時，所建花壇的總費用最少？最少費用是多少萬元？

Answer 1

【答案】分析：（1）由于半圓環形甬道的內半圓的半徑為10m，橫向甬道的寬度是其它各甬道寬度的2倍，而橫向甬道的寬為2x，由此得到半圓環形甬道的外半圓的半徑為（10+x）m，然后利用圓的面積公式即可求出兩個半圓環形甬道的面積之和；
（2）首先用x表示所有甬道的面積之和為40×x×2+60×2x-2x²×2+3x²+60x，然后根據已知條件的關于x的方程，解方程即可求解；
（3）由于修建甬道的總費用（萬元）與x（m）成正比例關系，比例系數是7.59，因此得到修建甬道的總費用為7.59x，而花壇其余部分的綠化費用為0.03萬元/m²，花壇其余部分的面積為[60×40-（-x²+260x）]，因此即可求出所建花壇的總費用y與x的函數關系式，然后利用二次函數的性質即可求出所建花壇的最少費用．
解答：解：（1）兩個半圓環形甬道的面積=π（10+x）²-π×10²=3x²+60x（m²）；

（2）依題意，得40×x×2+60×2x-2x²×2+3x²+60x=×60×40+36，
整理，得x²-260x+516=0，
解得x₁=2，x₂=258（不符合題意，舍去）．
∴x=2；

（3）設建設花壇的總費用為y萬元，則
y=0.03×[60×40-（-x²+260x）]+7.59x
=0.03x²-0.21x+72．
∴當x=-==3.5時，y的值最小．
因為根據設計的要求，x的值不能超過3，
∴當x=3時，總費用最少．
最少費用為y=0.03×3²-0.21×3+72=71.64（萬元）．
點評：本題考查了二次函數的性質在實際生活中的應用．最大（小）值的問題常利函數的增減性來解答，我們首先要吃透題意，確定變量，建立函數模型，然后結合實際選擇最優方案．其中要注意應該在自變量的取值范圍內求最大值（或最小值），也就是說二次函數的最值不一定在x=時取得．