Question

仔細閱讀并完成下題：
我們把一個半圓與拋物線的一部分合成的封閉圖形稱為“蛋圓”；如果一條直線與“蛋圓”只有一個交點，那么這條直線叫做“蛋圓”的切線．如圖，已知“蛋圓”是由拋物線y=ax²-2ax+c的一部分和圓心為M的半圓合成的．點A、B、C分別是“蛋圓”與坐標軸的交點，已知點A的坐標為（-1，0），AB為半圓的直徑，
（1）點B的坐標為（

3

，

0

）；點C的坐標為（

0

，

3

），半圓M的半徑為

2

；
（2）若P是“蛋圓”上的一點，且以O、P、B為頂點的三角形是等腰直角三角形求符合條件的點P的坐標，以及所對應的a的值；
（3）已知直線y=x-

7

2

是“蛋圓”的切線，求滿足條件的拋物線解析式．

Answer 1

分析：（1）由新定義的“蛋圓”圖形不難看出：“蛋圓”是一個軸對稱圖形，對稱軸與拋物線相同，因此圓心M在拋物線的對稱軸上，首先由拋物線的解析式確定點M的坐標，再由A、B關于點M對稱求出點B的坐標，則半圓的半徑可求；連接CM，在Rt△OCM中，CM是半圓的半徑，OM是點M橫坐標的絕對值，由勾股定理即可求得OC的長，則點C的坐標可求．
（2）首先將點A或點B的坐標代入拋物線的解析式中，求出a、c的數量關系，目標是令拋物線的解析式中只有一個待定系數a；通過觀察圖形不難看出：點B不可能是直角頂點，因此只考慮兩種情況：點O是直角頂點、點P是直角頂點；
Ⅰ、當點P在半圓上時，若存在符合條件的點P，那么a只要大于0就符合題干的要求，需要分兩種情況討論：
①若點O為直角頂點，那么點P為半圓與y軸的交點，顯然由（1）的結論可以判斷出OB、OC是否為相等關系，若相等，那么點C就符合點P的要求，若不相等，那么這種情況不予考慮；
②若點P為直角頂點，那么作OB的中垂線，若存在符合條件的點P，那么點P必為中垂線與半圓的交點，可以通過勾股定理求出該點到x軸的距離，然后判斷此距離是否為OB的一半即可．
Ⅱ、當點P在拋物線上時，若能求得符合條件的點P，可以代入拋物線的解析式中求出a的值；分兩種情況討論：
①若點O為直角頂點，同Ⅰ-①先求出點P的坐標，再代入拋物線的解析式中確定a的值；
②若點P為直角頂點，首先根據等腰直角三角形的性質確定點P的坐標（等腰直角三角形斜邊上的高等于斜邊的一半），然后代入拋物線的解析式中求解即可．
（3）聯立直線和拋物線的解析式，消去y后，令所得的一元二次方程的根的判別式為0，即可求出a的值．

解答：解：（1）由拋物線y=ax²-2ax+c知，對稱軸 x=1；
∴點M的坐標為（1，0）；
∵點A、B關于點M對稱，且A（-1，0）、M（1，0）
∴B（3，0），半圓的半徑 r=AM=BM=2；
連接CM，在Rt△OCM中，CM=r=2，OM=1，OC=

CM2-OM2

=

22-12

=

3

，即 C（0，

3

）；
故答案：B（3，0）、C（0，

3

），半圓M的半徑為2．

（2）因為拋物線y=ax²-2ax+c經過A（-1，0），有：
a+2a+c=0，c=-3a
∴拋物線：y=ax²-2ax-3a；
Ⅰ、當點P在半圓上時；
①點P是直角頂點，如右圖（圖Ⅰ-①）；
若△OBP是等腰直角三角形，那么點P必在OB的中垂線上，即 AD=BD=PD=

3

2

；
在Rt△OPD中，OP=2，OD=

3

2

，則 PD=

OP2-OD2

=

22-( 3 2 )2

≠

3

2

，
線段PD長的前后結論矛盾，所以這種情況不成立；
②點O是直角頂點；
由（1）知：OC=

3

＜OB，因此這種情況也不成立．
Ⅱ、點P在拋物線上時；
①點P是直角頂點，如右圖（圖Ⅱ-①）；
若△OPB是等腰直角三角形，則 OD=BD=PD=

3

2

，即 P（

3

2

，-

3

2

）；
將點P的坐標代入y=ax²-2ax-3a中，有：
a×（

3

2

）²-2a×

3

2

-3a=-

3

2

，
解得：a=

2

5

；
②點O是直角頂點，那么點P必為拋物線與y軸的交點（如圖Ⅱ-②）；
若△OPB為等腰直角三角形，則 OP=OB=3，即 P（0，-3）；
同①，求得：a=1．
綜上，當P（0，-3）時，a=1；當P（

3

2

，-

3

2

）時，a=

2

5

．

（3）聯立直線y=x-

7

2

與拋物線y=ax²-2ax-3a，有：
x-

7

2

=ax²-2ax-3a，
化簡，得：ax²-（2a+1）x-3a+

7

2

=0
∴△=（2a+1）²-4a（-3a+

7

2

）=16a²-10a+1=0，
解得：a=

1

2

或a=

1

8

；
∴滿足條件的拋物線的解析式為：y=

1

2

x²-x-

3

2

、y=

1

8

x²-

1

4

x-

3

8

．

點評：該題給出了一個新圖形的定義，但歸根到底還是圓和二次函數的綜合題；主要涉及的考點有：圓和拋物線的對稱性、直線與拋物線交點個數的確定方法、等腰直角三角形的判定和性質等；題目的難點是第二小題，涉及的情況較多，需要分類討論；需要注意的是，由于題干給出的是“點P在‘蛋圓’上”，因此點P在半圓上的情況也需要進行討論．