Question

（1）方程x^y+1=z的質數解是    ；
（2）方程（其中a是整數x、y、z互不相等）的正整數解是    ；
（3）方程的整數解是    ．
（4）方程2^a+2^b+2^c+2^d=20.625的整數解是    ．

Answer 1

【答案】分析：（1）分類討論：若z為偶數，則因為z是質數，可得到z=2，則有x^y=1．這樣在整數范圍內必須x=1或y=0，但0、1均非質數，因此z不可能是偶數，只能是奇數；當z為奇數時，由x^y+1=z得x^y為偶數，由于奇數的任意次冪是奇數，故x必為偶數，但x是質數解，故x=2，此時方程為2^y+1=z，再討論y的奇偶性即可得到y=2，從而求出z，即可得到所求方程的唯一質數解．
（2）由于x、y、z互不相等的正整數，故不妨設x＜y＜z，則x≥1，y≥2，z≥3，則，得到a=1；
由，即，得到1＜x＜3．從而得到x的值；再由方程可推得，即，則可確定y的值；最后由，得到z的值；由此得到原方程的正整數解．
（3）因為2009=7²×41，而41是質數，所以即求方程=7的整數解，則和與是同類二次根式，則求x、y，即求方程的解（其中a，b是正整數），即a+b=7．求出a，b即可通過=a，=b或=b，=a計算得到原方程的解．
（4）由于2^a＜20.625＜25，則a＜5，設d≤c≤b≤a，若a≤3，則b≤2，c≤1，d≤0，從而2^a+2^b+2^c+2^d≤2³+2²+2¹+2＜20.625，所以a=4，若b=3時原方程不成立；若b=2，則根據題意得c=-1，d=-3，即得到原方程的解．
解答：解：（1）當z為偶數，
∵z是質數，
∴z=2，即x^y=1．
∴在整數范圍內必須x=1或y=0，但0、1均非質數，
∴z不可能是偶數，只能是奇數．
當z為奇數時，
∵x^y+1=z，
∴x^y為偶數，而奇數的任意次冪是奇數，
∴x必為偶數，但x是質數解，
∴x=2，此時方程為2^y+1=z．
而當y為奇數時，2^y+1是3的倍數，不為質數，所以y只能是偶數，即y=2，這時z=2²+1=5．
所以x=2，y=2，z=5是所求方程的唯一質數解；

（2）∵x、y、z互不相等的正整數，
∴不妨設x＜y＜z，則x≥1，y≥2，z≥3，
∴，
∴a=1．
又∵，即，
所以1＜x＜3．故x=2．
又∵方程，
∴，即，故2＜y＜4，
∴y=3．
∴，故z=6；
因此，方程的正整數解為x=2，y=3，z=6；

（3）∵2009=7²×41，而41是質數，
∴求方程=7的整數解，則和與是同類二次根式，
所以求x、y，即求方程的解（其中a，b是正整數），即a+b=7．
所以可取a=2，5，1，6，3，4；與a相對應的b=5，2，6，1，4，3．于是可求得原方程的解為：

（4）∵2^a＜20.625＜25，
∴a＜5，設d≤c≤b≤a，若a≤3，則b≤2，c≤1，d≤0，從而2^a+2^b+2^c+2^d≤2³+2²+2¹+2＜20.625，
所以a=4，若b=3時原方程不成立；若b=2，則根據題意得c=-1，d=-3，
所以原方程的解為a=4，b=2，c=-1，d=-3．
故答案為：x=2，y=2，z=5；所以可取a=2，5，1，6，3，4；；
a=4，b=2，c=-1，d=-3．
點評：本題考查了質數和最簡二次根式的概念以及冪的意義．也考查了運用分類討論的思想解決方程的整數解得問題．