Question

（2005•山西）矩形OABC在直角坐標系中的位置如圖所示，A、C兩點的坐標分別為A（6，0）、C（0，3），直線y=x與BC邊相交于點D．
（1）求點D的坐標；
（2）若拋物線y=ax²+bx經過D、A兩點，試確定此拋物線的表達式；
（3）P為x軸上方（2）中拋物線上一點，求△POA面積的最大值；
（4）設（2）中拋物線的對稱軸與直線OD交于點M，點Q為對稱軸上一動點，以Q、O、M為頂點的三角形與△OCD相似，求符合條件的Q點的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知直線y=x與BC交于點D（x，3），把y=3代入等式可得點D的坐標；
（2）如圖拋物線y=ax²+bx經過D（4，3）、A（6，0）兩點，把已知坐標代入解析式得出a，b的值即可；
（3）當S_△POA有最大值時，點P須位于拋物線的最高點．因為a＜0可推出拋物線頂點恰為最高點；
（4）證明Rt△Q₁OM∽Rt△CDO以及Rt△Q₂Q₁O≌Rt△DCO后推出CD=Q₁Q₂=4得出符合條件的坐標．
解答：解：（1）由題知，直線y=x與BC交于點D（x，3）．（1分）
把y=3代入y=x中得，x=4，
∴D（4，3）；（3分）

（2）拋物線y=ax²+bx經過D（4，3）、A（6，0）兩點，
把x=4，y=3；x=6，y=0，分別代入y=ax²+bx中，（4分）
得
解之得（5分）
∴拋物線的解析式為y=-x²+x；（6分）

（3）因△POA底邊OA=6，
∴當S_△POA有最大值時，點P須位于拋物線的最高點，
∵a=-＜0，
∴拋物線頂點恰為最高點，（7分）
（8分）
∴S_△POA的最大值=×6×=；（10分）

（4）拋物線的對稱軸與x軸交于點Q₁，符合條件．
∵CB∥OA∠Q₁OM=∠CDO，
∴Rt△Q₁OM∽Rt△CDO．x=-=3，該點坐標為Q₁（3，0）．（11分）
過點O作OD的垂線交拋物線的對稱軸于點Q₂，

∵對稱軸平行于y軸，
∴∠Q₂MO=∠DOC，
∴Rt△Q₂MO∽Rt△DOC．
在Rt△Q₂Q₁O和Rt△DCO中
Q₁O=CO=3，∠Q₂=∠ODC，
∴Rt△Q₂Q₁O≌Rt△DCO．
∴CD=Q₁Q₂=4，
∵點Q₂位于第四象限，
∴Q₂（3，-4）．（12分）
因此，符合條件的點有兩個，分別是Q₁（3，0），Q₂（3，-4）．（13分）
點評：本題考查的是三角形面積的計算，二次函數的綜合運用．難度較大．