Question

如圖，正方形ABCD中，點E在邊BC上，且CE=2BE．連接BD、DE、AE，且AE交BD于F，OG為△BDE的中位線．下列結論：①OG⊥CD；②AB=5OG；③；④BF=OF；⑤，其中正確結論的個數是（ ）

A．2
B．3
C．4
D．5

Answer 1

【答案】分析：①由正方形的性質與OG為△BDE的中位線，即可證得OG⊥CD；
②由OG為△BDE的中位線的性質與CE=2BE，可求得AB=6OG；
③由相似三角形的面積比等于相似比的平方與等高等底三角形的面積相等，即可求得；
④由相似三角形的對應邊成比例，易求得BF=OF；
⑤首先過點B作BH⊥AE，首先設BH=x，由相似三角形的性質與勾股定理，可求得BF與FH的長，繼而求得答案．
解答：解：①∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠C=90°，
即BC⊥CD，
∵OG為△BDE的中位線，
∴OG∥BC，
∴OG⊥CD；
故正確；
②∵OG為△BDE的中位線，
∴BE=2OG，
∵CE=2BE，
∴CE=40G，
∴BC=BE+CE=6OG，
故錯誤；
③∵OG∥BC，BE=2OG，
∴△ODG∽△BDE，
∴，
∵S_△ABE=S_△BDE，
∴；
故錯誤；
④∵CE=2BE，
∴BE：BC=BE：AD=1：3，
∵BC∥AD，
∴BF：DF=BE：AD=1：3，
∴BF=BD，
∵OB=OD=BD，
∴BF=OF=BD；
故正確；
⑤過點B作BH⊥AE，
∵∠AHB=∠ABE=90°，∠BAH=∠EAB，
∴△BAH∽△EAB，
∴AH：AB=BH：BE，
∴AH：BH=AB：BE=3，
∵設BH=x，則AH=3x，
在Rt△ABH中，AB==x，
∴BD=AB=2x，
∴BF=BD=x，
在Rt△BFH中，FH==x，
∴cos∠BFE==．
故正確．
故選B．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、正方形的性質、三角形中位線的性質、勾股定理以及三角函數的定義．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．