Question

已知二次函數y=ax²+bx+c同時滿足下列條件：①對稱軸是x=1；②最值是15；③圖象與x軸有兩個交點，其橫坐標的平方和為15-a，則b的值是（　　）

A．4或-30

B．-30

C．4

D．6或-20

Answer 1

分析：由拋物線的對稱軸及最值，得到拋物線的頂點坐標，表示出拋物線的頂點式方程，令y=0，得到關于x的一元二次方程，設方程的兩個根為x₁，x₂，利用根與系數的關系表示出x₁+x₂及x₁x₂，把橫坐標的平方和利用完全平方公式變形后，將表示出x₁+x₂及x₁x₂代入，根據橫坐標的平方和為15-a，列出關于a的方程，求出方程的解得到a的值，由b=-2a可得出b的值．

解答：解：由二次函數y=ax²+bx+c的對稱軸為x=1，最值為15，
∴二次函數的頂點坐標為（1，15），此時a，b異號，a＜0，
可得二次函數的解析式為y=a（x-1）²+15，
令y=0，可得ax²-2ax+a+15=0，設方程的兩個根為x₁，x₂，
∴x₁+x₂=2，x₁x₂=

a+15

a

=1+

15

a

，又橫坐標的平方和為15-a，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=2²-（2+

30

a

）=15-a，
解得：a=15（舍去）或a=-2，
則b=-2a=4．
故選C

點評：此題考查了二次函數與x軸的交點，以及二次函數的性質，涉及的知識有：拋物線的頂點形式，拋物線與x軸交點的求法，根與系數的關系，以及完全平方公式的運用，拋物線與x軸的交點坐標求法為：令拋物線解析式中的y=0，得到關于x的一元二次方程，求出方程的解即為交點的橫坐標．