Question

已知關于x、y的方程組

x2-y+k=0 (1) (x-y)2-2x+2y+1=0 (2)

有兩個不相同的實數解．
（1）求實數k的取值范圍；
（2）若

x=x1 y=y1

和

x=x2 y=y2

是方程組的兩個不相同的實數解，是否存在實數k，使得y_ly₂-

x1

x2

-

x2

x1

的值等于2？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）通過消元得到一元二次方程，根據△＞0，求得k的取值范圍；
（2）根據根與系數的關系，把y_ly₂-

x1

x2

-

x2

x1

轉化為關于k的方程，解方程即可求得k的值．

解答：解：（1）由②得（x-y-1）²=0，x-y-1=0，y=x-1   ③，
把③代入①，得x²-x+1+k=0 ④，
方程組要有兩個不相同的實數解，則該方程有兩個不相等的實數根，
∴△=1-4-4k＞0，
解得k＜-

3

4

．

（2）根據根與系數的關系，得x_lx₂=1+k，x_l+x₂=1．
∴y₁y₂=（x₁-1）（x₂-1）=x_lx₂-（x_l+x₂）+1=1+k．
則有1+k-

1-2-2k

1+k

=2，
解得k=0或k=-2，
經檢驗0和-2都是方程的解．
根據（1）中的取值范圍，k=0應舍去，
∴取k=-2．

點評：討論方程組的解的情況時，要把方程組轉化為方程，利用根的判別式進行討論；熟練運用一元二次方程的根與系數的關系，把含有未知數的代數式變成含有k的式子進行解方程，最后還要注意k的取值范圍．