Question

如圖，AB是⊙O的直徑，CD切⊙O于E，AC⊥CD于C，BD⊥CD于D，交⊙O于F，連接AE、EF．
（1）求證：AE是∠BAC的平分線；
（2）若∠ABD=60°，則AB與EF是否平行？請說明理由．

Answer 1

（1）證明：連接BE；
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°．
∵CD切圓于E，
∴∠AEC=∠ABE，又AC⊥CD．
∴∠CAE=∠BAE．
即AE是∠BAC的平分線．

（2）解：AB∥EF．理由如下：
∵AC⊥CD于C，BD⊥CD于D，
∴AC∥BD．
∴∠BAC=180°-∠B=120°．
∵AE是∠BAC的平分線，
∴∠BAE=60°．
∴∠DFE=∠BAE=60°（圓內接四邊形的任意一個外角等于它的內對角），
∴∠DFE=∠ABF．
∴AB∥EF．
分析：（1）連接BE，根據直徑所對的圓周角是直角得到∠AEB=90°，再結合弦切角定理以及等角的余角相等進行證明；
（2）首先根據AC∥BD，得到∠BAC=120°，再根據（1）的結論得到∠BAE=60°，根據圓內接四邊形的外角等于它的內對角，則∠DFE=∠BAE=60°，從而根據同位角相等，得到兩條直線平行．
點評：本題綜合考查了圓周角定理、弦切角定理、圓內接四邊形的性質以及平行線的判定和性質．