Question

如圖，在平面直角坐標系xoy中，點E在x軸的正半軸上，⊙E交x軸于A、B兩點，交y軸于C、D兩點，且G為BC弧的中點，若點A的坐標為（-2，0），AE=4
（1）求點C的坐標；
（2）求∠CAG的度數；
（3）若F點的坐標為（10，0），問直線FG與⊙E的位置關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）OC是直角△ABC斜邊上的高線，利用射影定理即可求得OC的長，從而確定C的坐標；
（2）Rt△AOC中，求得∠CAO的度數，根據等弧所對的圓周角相等即可求解；
（3）證明∠EGF=90°，即可證得FG是⊙E的切線．
解答：解：（1）∵AB是直徑，則∠ACB=90°，
∴CO⊥AB，AO=2，OB=6，
∴CO²=AO•OB=2×6=12，
∴CO=2（舍去），
∴C（0，2）；（3分）

（2）Rt△AOC中，tan∠CAO=，
∴∠CAO=60°，
∵G為的中點，
∴∠CAG=∠CAO=30°．（6分）

（3）FG與⊙E相切．
連接BG，則∠AGB=90°，∠GAB=30°，
∴BG=AB=4，BF=OF-OB=4，
∴BG=BF，
∴∠BFG=∠BGF=30°，
連接EG，∠EGB=60°．
∴∠EGF=60°+30°=90°，
∴FG是⊙E的切線（9分）．
點評：本題主要考查了射影定理，三角函數以及切線的判定，正確利用射影定理是解題關鍵．