Question

（2010•海門市二模）如圖，過點P（2，）作x軸的平行線交y軸于點A，交雙曲線（x＞0）于點N，作PM⊥AN交雙曲線（x＞0）于點M，連接AM．已知PN=4．
（1）求k的值；
（2）設直線MN解析式為y=ax+b，求不等式≥ax+b的解集；
（3）試判斷△AMN的形狀？并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由點P的坐標為（2，）得AP=2，又PN=4可得AN=6，即點N的坐標為（6，），把N（6，）代入y=中，得k=．
（2）點P的坐標為（2，）得點M的橫坐標為2，又點N的坐標為（6，），再根據圖象可得0＜x≤2或x≥6．
（3）由點M的坐標為（2，）和點P的坐標為（2，）得PM=．又PM⊥AN，AP=2，PN=4可得AM²+MN²=AN²，故△AMN是直角三角形．
解答：解：（1）∵點P的坐標為（2，），
∴AP=2，OA=．（1分）
∵PN=4，∴AN=6，
∴點N的坐標為（6，）．（2分）
把N（6，）代入y=中，得k=．（3分）

（2）∵點P的坐標為（2，），
∴點M的橫坐標為2，
又∵點N的坐標為（6，），
∴0＜x≤2或x≥6．（5分）

（3）∵點M的橫坐標為2，雙曲線為，
∴點M的坐標為（2，），
∴PM=．（6分）
∵PM⊥AN，AP=2，PN=4，
∴AM²=12，MN²=24，AN²=36，（7分）
∴AM²+MN²=AN²，
∴∠AMN=90°，即△AMN是直角三角形．（8分）
點評：本題考查反比例函數和一次函數解析式的確定、圖形的面積求法、直角三角形的判定等知識及綜合應用知識、解決問題的能力．此題難度較大．