Question

（2005•上海）已知：如圖，圓O是△ABC的外接圓，圓心O在這個三角形的高CD上，E、F分別是邊AC和BC的中點，求證：四邊形CEDF是菱形．

Answer 1

【答案】分析：由垂徑定理知，點D是AB的中點，有AD=BD，可證△CAD≌△CBD，可得AC=BC；由E，F分別為AC，BC的中點，D為AB中點，得DF=CE=AC，DE=CF=BC，即DE=DF=CE=CF，從而可得四邊形CEDF為菱形．
解答：證明：∵AB為弦，CD為直徑所在的直線且AB⊥CD，
∴AD=BD，
又∵CD=CD，
∴△CAD≌△CBD，
∴AC=BC；
又∵E，F分別為AC，BC的中點，D為AB中點，
∴DF=CE=AC，DE=CF=BC，
∴DE=DF=CE=CF，
∴四邊形CEDF為菱形．
點評：本題考查了垂徑定理、三角形全等、三角形中位線的性質以及菱形的判定．