Question

如圖，在銳角△ABC中，AC是最短邊；以AC中點O為圓心，AC長為半徑作⊙O，交BC于E，過O作OD∥BC交⊙O于D，連接AE、AD、DC．
（1）求證：D是的中點；
（2）求證：∠DAO=∠B+∠BAD；
（3）若，且AC=4，求CF的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）由AC是⊙O的直徑，即可求得OD∥BC，又由AE⊥OD，即可證得D是的中點；
（2）首先延長OD交AB于G，則OG∥BC，可得OA=OD，根據等腰三角形的性質，即可求得∠DAO=∠B+∠BAD；
（3）由AO=OC，S_△OCD=S_△ACD，即可得，又由△ACD∽△FCE，根據相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得CF的長．
解答：（1）證明：∵AC是⊙O的直徑，
∴∠AEC=90°，
∴AE⊥BC，
∵OD∥BC，
∴AE⊥OD，
∴D是的中點；

（2）證明：
方法一：
如圖，延長OD交AB于G，則OG∥BC，
∴∠AGD=∠B，
∵∠ADO=∠BAD+∠AGD，
又∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ADO，
∴∠DAO=∠B+∠BAD；

方法二：
如圖，延長AD交BC于H，
則∠ADO=∠AHC，
∵∠AHC=∠B+∠BAD，
∴∠ADO=∠B+∠BAD，
又∵OA=OD，
∴∠DAO=∠B+∠BAD；

（3）解：∵AO=OC，
∴S_△OCD=S_△ACD，
∵，
∴，
∵∠ACD=∠FCE，∠ADC=∠FEC=90°，
∴△ACD∽△FCE，
∴，
即：，
∴CF=2．
點評：此題考查了垂徑定理，平行線的性質以及相似三角形的判定與性質等知識．此題綜合性較強，難度適中，解題的關鍵是數形結合思想的應用．