Question

【題目】如圖，在直角坐標系中，△ABC的三個頂點都在坐標軸上，A，B兩點關于y軸對稱，點C是y軸正半軸上一個動點，AD是角平分線．

（1）如圖1，若∠ACB＝90°，直接寫出線段AB，CD，AC之間數量關系；

（2）如圖2，若AB＝AC+BD，求∠ACB的度數；

（3）如圖2，若∠ACB＝100°，求證：AB＝AD+CD．

Answer 1

【答案】（1）AB＝AC+CD；（2）108°；（3）證明見解析

【解析】

（1）如圖1，過D作DM⊥AB于M，根據軸對稱的性質得到CA=CB，根據角平分線的性質得到CD=MD，∠ABC=45°，根據全等三角形的性質得到AC=AM，于是得到結論；

（2）設∠ACB=α，則∠CAB=∠CBA=90°-α，在AB上截取AK=AC，連結DK，根據角平分線的定義得到∠CAD=∠KAD，根據全等三角形的性質得到∠ACD=∠AKD=α，根據三角形的內角和即可得到結論；

（3）如圖2，在AB上截取AH=AD，連接DH，根據等腰三角形的性質得到∠CAB=∠CBA=40°，根據角平分線的定義得到∠HAD=∠CAD=20°，求得∠ADH=∠AHD=80°，在AB上截取AK=AC，連接DK，根據全等三角形的性質得到∠ACB=∠AKD=100°，CD=DK，根據等腰三角形的性質得到DH=BH，于是得到結論．

（1）如圖1，過D作DM⊥AB于M，

∵A，B兩點關于y軸對稱，

∴CA＝CB，

∵∠ACB＝90°，AD是角平分線，

∴CD＝MD，∠ABC＝45°，

∴∠BDM＝45°，

∴BM＝DM，

∴BM＝CD，

在RT△ADC和RT△ADM中，，

∴RT△ADC≌RT△ADM（HL），

∴AC＝AM，

∴AB＝AM+BM＝AC+CD，

即AB＝AC+CD；

（2）設∠ACB＝α，則∠CAB＝∠CBA＝90°﹣α，

在AB上截取AK＝AC，連結DK，

∵AB＝AC+BD，

∴BK＝BD，

∵AD是角平分線，

∴在△CAD和△KAD中，，

∴△CAD≌△KAD（SAS），

∴∠ACD＝∠AKD＝α，

∴∠BKD＝180°﹣α，

∵BK＝BD，

∴∠BDK＝180°﹣α，

在△BDK中，

180°﹣α+180°﹣α+90°﹣α＝180°，

∴α＝108°，

∴∠ACB＝108°；

（3）如圖2，在AB上截取AH＝AD，連接DH，

∵∠ACB＝100°，AC＝BC，

∴∠CAB＝∠CBA＝40°，

∵AD是角平分線，

∴∠HAD＝∠CAD＝20°，

∴∠ADH＝∠AHD＝80°，

在AB上截取AK＝AC，連接DK，

由（1）得，△CAD≌△KAD，

∴∠ACB＝∠AKD＝100°，CD＝DK，

∴∠DKH＝80°＝∠DHK，

∴DK＝DH＝CD，

∵∠CBA＝40°，

∴∠BDH＝40°，

∴DH＝BH，

∴BH＝CD，

∵AB＝AH+BH，

∴AB＝AD+CD．