Question

11、若x、y為正整數，使得2xy能整除x²+y²-x，則x為完全平方數．

Answer 1

分析：先設x²+y²-x=2kxy（k為整數），y的值是固定的，根據判別式為完全平方數可以證明x是完全平方數．

解答：證明：設x²+y²-x=2kxy（k為整數），
則關于y的二次方程y²-2kxy+（x²-x）=0的根中有一個y₁（y）是整數，另一個y₂=2kx-y₁也是整數，
其判別式△=4[k²x²-（x²-x）]=4x[（k²-1）x+1]應為完全平方數．
由于x與（k²-1）x+1互質（它們的最大公約數（x，（k²-1）x+1）=（x，1）=1），
所以，x是完全平方數．

點評：本題考查了完全平方數的問題．其中還考查了判別式和互質的問題．