Question

（1）問題背景
如圖1，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∠ABC的平分線交直線AC于D，過點C作CE⊥BD，交直線BD于E．請探究線段BD與CE的數量關系．（事實上，我們可以延長CE與直線BA相交，通過三角形的全等等知識解決問題．）
結論：線段BD與CE的數量關系是______（請直接寫出結論）；
（2）類比探索
在（1）中，如果把BD改為∠ABC的外角∠ABF的平分線，其他條件均不變（如圖2），（1）中的結論還成立嗎？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由；
（3）拓展延伸
在（2）中，如果AB≠AC，且AB=nAC（0＜n＜1），其他條件均不變（如圖3），請你直接寫出BD與CE的數量關系．
結論：BD=______CE（用含n的代數式表示）．

Answer 1

【答案】分析：（1）延長CE、BA交于F點，先證明△BFC是等腰三角形，再根據等腰三角形的性質可得CF=2CE，然后證明△ADB≌△AFC可得BD=FC，進而證出BD=2CE；
（2）延長CE、AB交于點G，先利用ASA證明△GBE≌△CBE，得出GE=CE，則CG=2CE，再證明△DAB∽△GAC，根據相似三角形對應邊的比相等及AB=AC即可得出BD=CG=2CE；
（3）同（2），延長CE、AB交于點G，先利用ASA證明△GBE≌△CBE，得出GE=CE，則CG=2CE，再證明△DAB∽△GAC，根據相似三角形對應邊的比相等及AB=nAC即可得出BD=CG=2nCE．
解答：解：（1）BD=2CE．理由如下：
如圖1，延長CE、BA交于F點．
∵CE⊥BD，交直線BD于E，
∴∠FEB=∠CEB=90°．
∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠2，
∴∠F=∠BCF，
∴BF=BC，
∵BE⊥CF，
∴CF=2CE．
∵△ABC中，AC=AB，∠A=90°，
∴∠CBA=45°，
∴∠F=（180-45）°÷2=67.5°，∠FBE=22.5°，
∴∠ADB=67.5°，
∵在△ADB和△AFC中，
，
∴△ADB≌△AFC（AAS），
∴BD=CF，
∴BD=2CE；

 （2）結論BD=2CE仍然成立．理由如下：
如圖2，延長CE、AB交于點G．
∵∠1=∠2，∠1=∠3，∠2=∠4，
∴∠3=∠4，
又∵BE=BE，∠GEB=∠CEB=90°，
∴△GBE≌△CBE（ASA），
∴GE=CE，
∴CG=2CE．
∵∠D+∠DCG=∠G+∠DCG=90°，
∴∠D=∠G，
又∵∠DAB=∠GAC=90°，
∴△DAB∽△GAC，
∴=，
∵AB=AC，
∴BD=CG=2CE；

（3）BD=2nCE．理由如下：
如圖3，延長CE、AB交于點G．
∵∠1=∠2，∠1=∠3，∠2=∠4，
∴∠3=∠4，
又∵BE=BE，∠GEB=∠CEB=90°，
∴△GBE≌△CBE（ASA），
∴GE=CE，
∴CG=2CE．
∵∠D+∠DCG=∠G+∠DCG=90°，
∴∠D=∠G，
又∵∠DAB=∠GAC=90°，
∴△DAB∽△GAC，
∴=，
∵AB=nAC，
∴BD=nCG=2nCE．
故答案為BD=2CE；2n．
點評：本題考查了等腰三角形的性質和判定，全等三角形的性質和判定，相似三角形的性質和判定等知識點的應用，此題關鍵是正確找出輔助線，通過輔助線構造全等三角形或相似三角形解決問題，要掌握輔助線的作圖根據．題目比較好，綜合性也比較強．