Question

已知：關于x的方程x²+（k-2）x+k-3=0
（1）求證：方程x²+（k-2）x+k-3=0總有實數根；
（2）若方程x²+（k-2）x+k-3=0有一根大于5且小于7，求k的整數值；
（3）在（2）的條件下，對于一次函數y₁=x+b和二次函數y₂=x²+（k-2）x+k-3，當-1＜x＜7時，有y₁＞y₂，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用一元二次方程根的判別式進行判定即可；
（2）解方程得到方程的兩個根，然后根據含有字母k的根即為大于5且小于7的根，列出不等式組，求解得到k的取值范圍，再寫出整數值即可；
（3）把k值代入得到二次函數解析式，再根據y₁＞y₂整理出關于x的一元二次不等式，然后利用二次函數的性質可知，二次函數與x軸的交點橫坐標在-1到7之外，再根據兩個負數相比較，絕對值大的反而小列出不等式求解即可．
解答：（1）證明：△=（k-2）²-4（k-3），
=k²-4k+4-4k+12，
=k²-8k+16，
=（k-4）²，
∵（k-4）²≥0，
∴此方程總有實根；

（2）解：解得方程兩根為，x₁=-1，x₂=3-k，
∵方程有一根大于5且小于7，
∴5＜3-k＜7，
即-7＜k-3＜-5，
解得-4＜k＜-2，
∵k為整數，
∴k=-3；

（3）解：由 （2）知k=-3，
∴y₂=x²-5x-6，
∵y₁＞y₂，
∴y₂-y₁＜0，
即x²-6x-6-b＜0，
∵在-1＜x＜7時，有y₁＞y₂，
∴x²-6x-6-b=0的兩個根在-1到7之間，
即y=x²-6x-6-b與x軸的交點在-1到7之外，
∴兩根之積-6-b＜-1×7，
解得b＞1．
點評：本題是二次函數綜合題型，主要涉及了一元二次方程的根的情況的判定，解一元二次方程，解不等式組，以及利用二次函數解一元二次不等式的方法，（3）根據x的取值范圍判斷出二次函數與x軸的交點在-1到7之外是解題的關鍵．