Question

如圖，正方形ABCD的邊長為1，對角線AC與BD相交于點O，點P是AB邊上的一個動點（點P不與點A、B重合），CP與BD相交于點Q．
（1）若CP平分∠ACB，求證：AP=2QO．
（2）先按下列要求畫出相應圖形，然后求解問題．
①把線段PC繞點P旋轉90°，使點C落在點E處，并連接AE．設線段BP的長度為x，△APE的面積為S．試求S與x的函數關系式；
②求出S的最大值，判斷此時點P所在的位置．

Answer 1

分析：（1）過點O作OM∥AB交PC于點M，首先根據四邊形ABCD是正方形求出OA=OC，∠CAB=∠CBD=∠COM，然后根據角之間的關系求出∠OMQ=∠OQM，即可證明出AP=2QO，
（2）①先作出圖形，然后進行分類討論：i當PC繞點P逆時針旋轉90°時，作EF⊥AB交BA延長線于點F，首先證明△EPF≌△CPB得到AP和EF的值，然后根據面積公式求出S和x的函數關系式，ii當PC繞點P順時針旋轉90°時，作EG⊥AB交AB延長線于點G，同理求出S和x的函數關系式，②根據二次函數的性質，把二次函數寫成頂點坐標式求出最值．

解答：（1）證明：過點O作OM∥AB交PC于點M，
則∠COM=∠CAB．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴OA=OC，∠CAB=∠CBD=∠COM=45°，
∴AP=2OM．又∵∠1=∠2，
∴∠1+∠COM=∠2+∠CBD，
即∠OMQ=∠OQM．
∴OM=OQ∴AP=2OQ．

（2）解：根據題意作出圖形，如圖所示
①ⅰ、當PC繞點P逆時針旋轉90°時，作EF⊥AB交BA延長線于點F，
則∠EFP=∠PBC=90°，∠3+∠CPB=90°．又∠2+∠CPB=90°，∴∠3=∠2．
又PE由PC繞點P旋轉形成∴PE=PC∴△EPF≌△CPB．
∴EF=BP=x，∴AP=1-x，
∴S△APE=

1

2

AP•EF=

1

2

(1-x)x．
∴△APE的面積S與x的函數關系式為S=-

1

2

x2+

1

2

x（0＜x＜1）．
ⅱ、當PC繞點P順時針旋轉90°時，作E′G⊥AB交AB延長線于點G，
則同理可得△E′PG≌△CPB，E′G=BP=x．
∴△APE的面積S與x的函數關系式為S=-

1

2

x2+

1

2

x
由ⅰ、ⅱ可得△APE的面積S與x的函數關系式為S=-

1

2

x2+

1

2

x，（0＜x＜1）
②由①知S與x的函數關系式為S=-

1

2

x2+

1

2

x，（0，x，1）
即S=-

1

2

(x -

1

2

)2+

1

8

，（0＜x＜1）
∴當x=

1

2

時S的值最大，最大值為

1

8

．此時點P所在的位置是邊AB的中點處．

點評：本題主要考查二次函數的最值、全等三角形的判定和正方形的知識點，本題把幾何知識和函數問題結合起來，本題有點難度，還需要分類討論，這是同學們容易忽略的．