Question

已知：如圖，⊙O與⊙P相交于A、B兩點，點P在⊙O上，⊙O的弦AC切⊙P于點A，CP及其延長線交⊙P于D、E，經過E作EF⊥CE交CB的延長線于F
（1） 求證：BC是⊙P的切線；
（2）若CD=2，CB=，求EF的長；
（3）若設k=PE：CE，是否存在實數k，使△PBD恰好是等邊三角形?若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）證明：連結PA、PB，
∵AC切⊙P于A，PA是⊙P的半徑，
∴AC⊥PA，即∠PAC=90^。
又∵四邊形PACB內接于⊙O，
∴∠PBC+∠PAC=180^。。
∴∠PBC=90^。，即PB⊥CB
又∵PB是⊙P的半徑，
∴BC是⊙P的切線
（2）解：由切割線定理，得BC²=CD*CE。
∴
DE=CE-CD=4-2=2。∴PB=1
在Rt△EFC和Rt△BPC中，∠ECF=∠BCP，
∴Rt△EFC∽Rt△BPC

（3）解：存在實數k=時，△PBD為等邊三角形。下面證明：


而由（1）知道

為等邊三角形