Question

如圖，在平面直角坐標系中放置一直角三角板，其頂點為，，，將此三角板繞原點順時針旋轉，得到．

（1）如圖，一拋物線經過點，求該拋物線解析式；

（2）設點是在第一象限內拋物線上一動點，求使四邊形的面積達到最大時點的坐標及面積的最大值．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）∵拋物線過

設拋物線的解析式為

又∵拋物線過，將坐標代入上解析式得：

即滿足條件的拋物線解析式為

（2）（解法一）：如圖1，∵為第一象限內拋物線上一動點，

設則

點坐標滿足

連接

=

當時，最大．

此時，．即當動點的坐標為時，

最大，最大面積為

（解法二）：如圖2，連接為第一象限內拋物線上一動點，

且的面積為定值，

最大時必須最大．

∵長度為定值，∴最大時點到的距離最大．

即將直線向上平移到與拋物線有唯一交點時，

到的距離最大．

設與直線平行的直線的解析式為

聯立

得

令

解得此時直線的解析式為：

解得

∴直線與拋物線唯一交點坐標為

設與軸交于則

過作于在中，

過作于則到的距離

此時四邊形的面積最大．

∴的最大值=

【解析】（1）由三點的坐標根據待定系數法即可求出解析式；

（2）先根據題意列出函數關系式，再根據函數關系式的特征即可得到最大值。