Question

（2002•甘肅）（在下面的（I）（II）兩題中選做一題，若兩題都做，按第（I）題評分）
（I）如圖，在△ABC中，AB=4，BC=3，∠B=90°，點D在AB上運動，但與A、B不重合，過B、C、D三點的圓交AC于E，連接DE．
（1）設AD=x，CE=y，求y與x之間的函數關系式，并指出自變量x的取值范圍；
（2）當AD長為關于x的方程2x²+（4m+1）x+2m=0的一個整數根時，求m的值．

（II）如圖，在直角坐標系xOy中，以點A（0，-3）為圓心作圓與x軸相切，⊙B與⊙A外切干點P，B點在x軸正半軸上，過P點作兩圓的公切線DP交y軸于D，交x軸于C，
（1）設⊙A的半徑為r₁，⊙B的半徑為r₂，且r₂=r₁，求公切線DP的長及直線DP的函數解析式，
（2）若⊙A的位置、大小不變，點B在X軸正半軸上移動，⊙B與⊙A始終外切．過D作⊙B的切線DE，E為切點．當DE=4時，B點在什么位置？從解答中能發現什么？

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）（1）可先在直角三角形ABC中，求出AC的長，然后根據相似三角形ADE和ABC，得出關于AE，AB，AD，AC的比例關系式，用x表示出AE，然后根據AE+EC=AC即可得出關于x，y的函數關系式；
（2）觀察方程，可先用十字相乘法解方程，用m表示出方程的根，然后根據方程的根為整數，來判斷m的取值．

（Ⅱ）（1）由于三角形ADP和ABO全等（一個公共角，一組直角，AO=AP），因此要求DP的長，就是求出OB的長，已知了A的坐標，也就知道了⊙A的半徑長，根據⊙A，⊙B的半徑的比例關系即可求出BP的長，那么就知道了AB的長，可在直角三角形AOB中得出OB的值，也就求出了DP的長．求DP所在的直線的解析式，就要知道D，C兩點的坐標，關鍵是求OD，OC，因為三角形ADP和ABO全等，那么求出了AB的長，也就知道了AD的長，根據OD=AD-OA，即可得出D的坐標，根據相似△DOC和△BOA，可求出OC的長，那么知道了D，C的坐標后，可用待定系數法求出DP所在直線的解析式；
（2）很顯然，四邊形OBED是矩形，由此可以求出B點的坐標應該是（0，4）．
解答：（Ⅰ）解：（1）在△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=3，
∴AC=5，
∵四邊形DBCE為圓的內接四邊形，
∴∠AED=∠B，又∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴AE：AB=AD：AC，
∴AE==x，
由CE=AC-AE得y=5-x=-x+5，
∵點D在AB上運動，且與A，B不重合，AB=4，
∴自變量x的取值范圍是0＜x＜4；

（2）∵2x²+（4m+1）x+2m=0，
∴（x+2m）（2x+1）=0，
∴x=-2m，x=-，
∵x=-是分數．
∴整數根為-2m，即AD=-2m，
∵0＜x＜4，即0＜AD＜4，
∴滿足0＜AD＜4的正數為1，2，3，
當AD=-2m=1時，m=-；
當AD=-2m=2時，m=-1；
當AD=-2m=3時，m=-．
∵方程2x²+（4m+1）x+2m的判別式為△=（4m+1）²-16m=（4m-1）²，
對任何實數m恒有（4m-1）2≥0，
∴所求的值為-，-1和-．

（Ⅱ）解：（1）∵A（0，-3），
∴AO=AP=3，
又r₂=r₁，即BP=AP=2，
∴AB=5，
∴BO=4．
又Rt△AOB∽Rt△CPB，得：，
∴BC==，OC=4-=．
∴點C的坐標是C（，0）
∵Rt△APD≌Rt△AOB，
∴AD=AB=5，PD=BO=4
設點PD的解析式為y=kx+b，則有：
，
得k=-，b=2，
∴直線PD的解析式是y=-x+2；

（2）點B的坐標為（4，0），
可以看出，四邊形OBED是矩形．
點評：本題主要考查了相似三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質以及圓與圓的位置關系等知識點，也考查了利用待定系數法確定函數的解析式，綜合性比較強．