Question

已知：拋物線y=ax²+（1-a）x+（5-2a）與x軸負半軸交于點A，與x軸正半軸交于點B，與y軸交于點C，tan∠CAO-tan∠CBO=2．
（1）當拋物線的解析式及頂點D的坐標；
（2）當線段OB與線段OC長度相等時，在拋物線的對稱軸上取一點P，以點P為圓心作圓，使它與x軸和直線BD都相切，求點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）先根據根與系數的關系，表示出OA、OB、OC的長，然后根據tan∠CAO-tan∠CBO=2即可得出關于a的方程，進而可求出a的值和拋物線的解析式．根據拋物線的解析式即可求出頂點D的坐標．
（2）本題可先設出P點的坐標，P點的橫坐標為拋物線的對稱軸的值，縱坐標的絕對值就是圓的半徑，連接PF后可根據相似三角形DPF和DEB求出圓的半徑的長，也就能求出P點的坐標．

解答：解：（1）設A（x₁，0）、B（x₂，0）
依題意：x₁＜0，x₂＞0
并且x₁、x₂是關于x的方程ax²+（1-a）x+（5-2a）=0的兩個實數根
∴△=（1-a）²-4a（5-2a）=9a²-22a+1＞0，x₁+x₂=

a-1

a

，
x₁x₂=

5-2a

a

＜0
①當點C在y軸正半軸上時，
∵C（0，5-2a）
∴OC=5-2a＞0
∵tan∠CAO-tan∠CBO=2 tan∠CAO=

OC

AO

，tan∠CBO=

OC

OB

∴

OC

AO

-

OC

OB

=2
∵AO=-x₁，OB=x₂
∴

5-2a

-x1

-

5-2a

x2

=2
∴

(5-2a)(x1+x2)

-x1x2

=2
∴

(5-2a)(1-a)

5-2a

=2
解得：a=-1
當a=-1時符合題意
∴y=-x²+2x+7，即頂點D（1，8）
②當點C在y軸負半軸上時，
∵C（0，5-2a）
∴CO=2a-5＞0
∵tan∠CAO-tan∠CBO=2tan∠CAO=

CO

AO

，tan∠CBO=

CO

OB

∴

CO

AO

-

CO

OB

=2
∵AO=-x₁，OB=x₂
∴

2a-5

-x1

-

2a-5

x2

=2
∴

(2a-5)(x1+x2)

-x1x2

=2
∴

(2a-5)(1-a)

5-2a

=2
解得：a=3
當a=3時符合題意
∴y=3x²-2x-1，頂點D（

1

3

，-

4

3

）
綜上所述，拋物線的解析式為y=-x²+2x+7或y=3x²-2x-1，相應頂點D的坐標為（1，8）或（

1

3

，-

4

3

）

（2）當拋物線的解析式為y=-x²+2x+7時，B（1+2

2

，0），C（0，7），OB＜OC，不合題意；
當拋物線的解析式為y=3x²-2x-1時，B（1，0），C（0，-1），OB=CO
∴拋物線y=3x²-2x-1符合題意（6分）
作PE⊥x軸于點E，PF⊥BD于點F．
設點P的坐標為（

1

3

，m）
頂點D(

1

3

，-

4

3

)，DB=

2 5

3

，EB=

2

3

∵⊙P與x軸、直線BD都相切
∴線段EP與線段FP長度相等
∵∠PDF=∠BDE，∠DFP=∠DEB
∴△DPF∽△DBE
∴

DP

DB

=

FP

EB

①當點P在第一象限時，m＞0
∴

m+ 4 3

2 5 3

=

m

2 3

∴m=

1+ 5

3

∴P（

1

3

，

1+ 5

3

）
②當點P在第四象限時，點P一定在線段DE上，-

4

3

＜m＜0
∴

m+ 4 3

2 5 3

=

m

2 3

∴m=

1- 5

3

∴P（

1

3

，

1- 5

3

）
∴點P的坐標為P（

1

3

，

1+ 5

3

）或P（

1

3

，

1- 5

3

）．

點評：本題著重考查了一元二次方程根與系數的關系、切線的性質、三角形相似等知識點，綜合性強，考查學生分類討論，數形結合的數學思想方法．