Question

 在矩形ABCD中，點(diǎn)P在AD上，AB=2，AP=1，將三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)P處，三角板的兩直角邊分別能與AB、BC邊相交于點(diǎn)E、F，連接EF．

（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時，點(diǎn)F恰好與點(diǎn)C重合，求此時PC的長；

（2）將三角板從（1）中的位置開始，繞點(diǎn)P順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時停止，在這個過程中，請你觀察、探究并解答：

① ∠PEF的大小是否發(fā)生變化？請說明理由；

② 直接寫出從開始到停止，線段EF的中點(diǎn)所經(jīng)過的路線長．

【解析】（1）先求得△ABP∽△DPC．通過比例求出此時PC的長

（2）過點(diǎn)F作FG⊥AD于點(diǎn)G．△APE∽△GFP，得，在Rt△EPF中，tan∠PEF=即tan∠PEF的值不變．

∴∠PEF的大小不變．

 

Answer 1

解：（1）在矩形ABCD中，，AP=1，CD=AB=2，

∴PB= ，．

∵，

∴．

∴．

∴ △ABP∽△DPC．

∴，即．

∴PC=2．……………………………………………………………………2分

（2）① ∠PEF的大小不變．

理由：過點(diǎn)F作FG⊥AD于點(diǎn)G．

∴四邊形ABFG是矩形．

∴．

∴GF=AB=2，．

∵，

∴．

∴．

∴ △APE∽△GFP.   …………………………………………………4分

∴．

∴在Rt△EPF中，tan∠PEF=．……………………………5分

即tan∠PEF的值不變．

∴∠PEF的大小不變．……………………………………………6分

② . ……………………………………………………7分