Question

已知四個半圓彼此相外切，它們的圓心都在x軸的正半軸上并且與直線y=

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x相切，設半圓C₁、C₂、C₃、C₄的半徑分別是r₁、r₂、r₃、r₄，則當r₁=1時，r₄=（　　）

• A、3
• B、3²
• C、3³
• D、3⁴

Answer 1

分析：設三個半圓與直線y=

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x分別相切于A、B、C點，分別連接圓心與切點，根據切線的性質得到三個直角三角形，再由直線OC的方程得到直線的傾斜角為30°，根據30°角所對直角邊等于斜邊的一半得到OC₁=2C₁A，0C₂=2C₂B，0C₃=2C₃C，再由三半圓彼此外切，得到相兩圓的圓心距等于兩半徑相加，得出r₁、r₂、r₃間的關系，由r₁的值可得出r₂、r₃的值，按照此規律可歸納出r₄的值．

解答：解：設半圓C₁、半圓C₂、半圓C₃直線y=

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x分別相切于點A，B，C，連接C₁A，C₂B，C₃C，
則C₁A⊥OA，C₂B⊥OB，C₃C⊥OC，
∵tan∠COC₁=

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，
∴∠COC₁=30°，
又∵三半圓彼此相外切，
∴OC₁=2C₁A=2r₁，0C₂=2C₂B=2r₂=OC₁+r₁+r₂=3r₁+r₂，0C₃=2C₃C=OC₂+r₂+r₃=3r₁+2r₂+r₃=2r₃，
∴2r₂=3r₁+r₂，3r₁+2r₂+r₃=2r₃，
∴r₂=3r₁，r₃=3r₁+2r₂，
∵r₁=1=3⁰，
∴r₂=3=3¹，
∴r₃=9=3²，
∴按此規律歸納得：r_n=3^n-1，
∴r₄=3³．
故選：C．

點評：此題考查了兩圓相切的性質，切線的性質，含30°直角三角形的性質以及一次函數的性質．此題難度較大，屬于規律性題目，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．