Question

四個頂點都在正方形邊上的四邊形叫做正方形的內接四邊形．如圖，四邊形EFGH是正方形ABCD的內接平行四邊形，且已知正方形ABCD的邊長為4．
（1）若點E、F、G、H是正方形ABCD四邊中點，試求四邊形EFGH的面積；
（2）設AE=x，AH=y，請探討當x、y滿足什么條件時，四邊形EFGH是矩形．（要求寫出過程）

Answer 1

解：（1）∵點E、F、G、H是正方形ABCD四邊中點，
∴□ABCD∽□EFGH，
∴S_□ABCD：S_□EFGH=BC²：EF²=2：1，
∴S_□EFGH=2；

（2）由題意可知△AEH≌△CGF，
∴CF=AH=y，
∵△AEH∽△BFE，
∴即，
化簡得：（x-y）（x+y-4）=0，
∴x=y或x+y=4，
∴當x、y滿足x=y或x+y=4時，四邊形EFGH是矩形．
分析：（1）直接利用相似多邊形的性質，可知面積比等于相似比的平方可求得S_□EFGH=2；
（2）四邊形EFGH是正方形ABCD的內接平行四邊形，要成為矩形的前提是四邊形EFGH必須是平行四邊形，則根據平行四邊形的性質可求得：△AEH≌△CGF，△AEH∽△BFE，所以根據成比例線段的關系可得到，化簡即可得到x=y或x+y=4，即當x、y滿足x=y或x+y=4時，四邊形EFGH是矩形．
點評：主要考查了正方形的性質，相似三角形的判定及中位線的定理的綜合運用．